$K$-Teoría de las variedades suave: continua vs fibrados vectoriales suaves

Question

Supongamos que tengo un suave colector $M$, y que desee considerar la $K$-teoría de la $K^0(M)$. Me podría definir esto en la forma habitual (tomando el grupo de Grothendieck de la monoid de clases de equivalencia de vectores haces) o en una "suave" manera (teniendo en cuenta sólo liso vector de paquetes, y tomando el grupo de Grothendieck como de costumbre).

No he visto discutir esto en cualquier lugar. Hay alguna diferencia entre los dos enfoques? Y hay alguna referencia en la que esta cuestión se discute?

(Mejor aún: si $M$ $G$- espacio para un compacto de Lie del grupo de $G$, es el equivariant $K$-teoría afectada por tomar sólo liso haces?)

Answer 1

El $K^0(M)$ basados en el vector de paquetes es el mismo que se basa en suave vector de paquetes debido a la fundamental (y tal vez no sea suficientemente anunciada) resultado:

Teorema de Cada continuo vector paquete en un $C^\infty$ colector tiene un compatibles $C^\infty$ vector de paquete de la estructura. Tal estructura es única hasta el $C^\infty$ isomorfismo.

Usted puede encontrar una prueba de Hirsch de la Topología Diferencial , en el Capítulo 4, Teorema 3.5, página 101.