Aquí es otro punto de vista sobre su pregunta. Como $\mathbb{Z}$ es el objeto inicial de unital (propiedad conmutativa) anillos, uno podría de todos se preguntan: ¿Qué epimorphisms de$\mathbb{Z}$?
Así que si $A = \mathbb{Z}$ en la pregunta original, ¿qué $B$? La respuesta a esto es bien conocido. De hecho, estos anillos de $B$ y su clasificación por lo que parecen haber sido (re)inventado varias veces, como "sólido anillos" por Bousfield y Kan (ver MO pregunta 95160: Sólido de los Anillos y de la Tor), como "T-anillos", por R. A. Bowshell y P. Schultz
(Unital anillos cuyo aditivo endomorphisms commute, Matemáticas. Ann. 228 (1977), 197-214, http://eudml.org/doc/162991;jsessionid=07C5F5F5BBD354C0914511776DA20F5E), y la generalización de los dominios de Dedekind que se ha hecho en
W. Pollas y W. Stephenson: Epimorphs y Dominios de Dedekind Dominios, J. Londres Matemáticas. Soc. (1984) s2-29(2): 224-228, http://jlms.oxfordjournals.org/content/s2-29/2/224.extract
. (También, por Martín de Brandenburgo y a mí este verano, antes de que nos encontramos en estos papeles ...)
Así que aquí es una respuesta positiva en virtud de un restrictiva suposición: Si $A \rightarrow B$ es un epimorphism y $A$ es un dominio de Dedekind, a continuación, $B$ será construido a partir de las localizaciones y los cocientes de $A$ adecuado finito productos y directa límites. Para hacer "adecuado" más específicos, a continuación se muestra una descripción más concreta (la literatura por encima de la mayoría dice "tomar colimits/pullbacks"; véase Martin comentario para otras descripciones). Puedo restringir a $A = \mathbb{Z}$ (en su mayoría notacional) simplicidad:
Deje $P$ el conjunto de los números primos y deje $n: P \rightarrow \mathbb{N} \cup \lbrace 0, \infty \rbrace $ ser cualquier mapa (un "sobrenatural número"). Deje $P_{fin}(n)$ el conjunto de los números primos $p$$n(p) < \infty$. Definir
$B_n := \lbrace ((b_p)_p, b_l) \in \prod_{p \in P_{fin}(n)} \mathbb{Z} / p^{n(p)} \times \mathbb{Z}[P_{fin}(n)^{-1}] :$
$$b_p \equiv b_l \text{ mod } p^{n(p)} \text{ for all but finitely many } p \in P_{fin}(n)(b_l) \rbrace$$
(índice "$l$ " "localización de la parte"), donde:
-- $\mathbb{Z}[P_{fin}(n)^{-1}]$ es la localización de $\mathbb{Z}$ en el conjunto multiplicativo generado por $P_{fin}(n)$, es decir, el sub-anillo de $\mathbb{Q}$ generado por $\lbrace p^{-1}: p \in P_{fin}(n) \rbrace$;
-- con $v_p$ $p$- ádico de valoración en $\mathbb{Q}$, $P_{fin}(n)(b_l) := \lbrace p \in P_{fin}: v_p(b_l) \ge 0 \rbrace$ y la condición de $b_p \equiv b_l \text{ mod } p^{n(p)}$ hace sentido y es de entenderse en el sub-anillo de $\mathbb{Q}$ donde sólo el $p$'s $v_p(b_l) < 0$ están invertidas.
A continuación, $B_n$ es en realidad un sub-anillo del contacto directo con el producto, y para $n$ van más de lo sobrenatural números, estos son todos los $B$ con inyectiva epimorphisms $\mathbb{Z} \rightarrow B$. (Que no inyectiva son los cocientes. Con más complicada la notación, se podría incluir este caso contando el 0 como primer.)
Aquí están dos de fácil-a-ver propiedades:
$B_n$ es noetherian si y sólo si $|P_{fin}(n) \setminus P_0(n) | < \infty$ (donde $P_0(n) :=$ conjunto de los números primos $p$$n(p) = 0$), si y sólo si $B_n$ es el producto directo de un cociente y de la localización, es decir, $\mathbb{Z}/n \times \mathbb{Z}[P_{fin}(n)^{-1}]$ donde por abuso de notación $n$ es el número natural $\prod_{p \in P_{fin}(n)} p^{n(p)}$.
La no-cero de los números primos de $B_n$ corresponden a los en $P \setminus P_0(n)$. En particular, $B_n$ es artinian si y sólo si su dimensión de Krull es 0 si y sólo si $|P \setminus P_0(n)| < \infty$. De lo contrario, su dimensión de Krull es 1.
Todo esto es cierto, cum grano salis para cualquier dominio de Dedekind $A$ en lugar de $\mathbb{Z}$. En particular, tan pronto como $A$ tiene un número infinito de números primos, hay epimorphisms $A \rightarrow B$ donde $B$ no es noetherian. Por otro lado, si $A$ tiene sólo un número finito de números primos (que por cierto hace un PID), $B$ será de la forma $A/a \times S^{-1}A$ $a \in A$ $S \subseteq A$ multiplicativo que contiene todos los números primos dividiendo $a$ (y, posiblemente, 0). En cualquier caso, $B$ será un colimit de los productos de las localizaciones y los cocientes como en el anterior, así que la respuesta a la pregunta
supongamos $f:A \rightarrow B$ es un epimorphism de anillos con ningún kernel que envía no-unidades no-unidades
y de tal manera que $B$ no tiene idempotents. Debe ser f un isomorfismo?
parece ser que sí , si $A$ es un dominio de Dedekind: E. g. en la configuración anterior, no las unidades de no-unidades implica la $P_0(n) = \emptyset$ $B$ no tener idempotents implica $P_{fin}(n) \setminus P_0(n) = \emptyset$.
Comentarios adicionales:
Comentario 1 (cf. David Rydh el primer comentario): Plano epimorphisms (de cualquier unital anillo) son las localizaciones para un determinado Gabriel topología y tiene un tipo de cálculo de fracciones. Para una precisa declaración, vea Quelques observaciones sur les épimorphismes plats (à gauche) d'anneaux por N. Popescu y T. Spircu, Journ. Alg. vol. 16, no. 1, págs 40-59, 1970, http://dx.doi.org/10.1016/0021-8693(70)90039-6, o Bo Stenström el libro de los Anillos de Cocientes, teorema 2.1 en el capítulo XI.
Observación 2: para Más información se puede en los trabajos de H. H. Storrer, por ejemplo, http://retro.seals.ch/digbib/view?rid=comahe-002:1973:48::11
Comentario 3: no he comprobado todos los detalles en la generalización de los dominios de Dedekind, así que ten cuidado (al menos, Martin y yo había alcanzado el mismo resultado para los PIDs). También, no sé si hay una generalización más allá de los dominios de Dedekind; supongo que Krull dominios podría ser atacable, pero no he intentado seriamente.
