$\coprod_{i \in I} (Y \times X_{i})$ y $Y \times \coprod_{i \in I}X_{i}$ homeomorfa

Question

Para demostrar que $\coprod_{i \in I} (Y \times X_{i})$ $Y \times \coprod_{i \in I}X_{i}$ son homeomórficos, he construido $h: \coprod_{i \in I} (Y \times X_{i}) \rightarrow Y \times \coprod_{i \in I}X_{i}: ((y,x),i) \longmapsto (y,(x,i)).$

Ahora está claro, sin prueba alguna de que los $h$ es bijective.

Para demostrar que $h$ es continua hice lo siguiente:

$A \subseteq Y \times \coprod X_{i}$ está abierto a $\iff A = B \times C, B \subseteq Y $ abierto, $C \subseteq \coprod X_{i}$ abrir $\iff A = B \times C, B \subseteq Y$ abierto, $C \cap X_{i}$ abierta en $X_{i}, \forall i \in I$.

Para demostrar que $h^{-1}(A)$ está abierto en $\coprod Y \times X_{i}$, debemos mostrar que $A \cap (Y \times X_{i})$ está abierto en $Y \times X_{i}, \forall i \in I$. Ahora tenemos $A \cap (Y \times X_{i}) = (B \times C) \cap (Y \times X_{i}) = (B \cap Y) \times (C \cap X_{i}) = B \times (C \cap X_{i})$, donde el primer componente es abierta en $Y$ y el segundo en $X_{i}$ debido a los anteriores hechos.

Es este razonamiento correcto?

Para la segunda parte de la prueba, debemos mostrar que $h^{-1}$ es continua, o, equivalente, que $h$ está abierto. Por tanto, me $A \subseteq \coprod (Y \times X_{i})$ abierto. Esto significa que $\forall i \in I: A \cap (Y \times X_{i})$ abierta en $Y \times X_{i}$. Así que escribe $A = E \times F$, para demostrar que $h(A)$ está abierto en $Y \times \coprod X_{i}$ debemos mostrar ese $ E \cap Y$ está abierto en $Y$ (que ya es el caso) y que $\forall i \in I F\cap X_{i}$ está abierto en $X_{i}$ (lo que también es cierto).

Es este segundo razonamiento correcto?

Si no, ¿dónde puedo ir mal?

Como siempre, gracias por la ayuda!

Answer 1

Definir $h: \coprod (Y \times X_{i}) \to Y \times \coprod X_{i}: ((y,x),i) \to (y, (x,i))$.

Está claro que $h$ es bijective.

Ahora podemos demostrar que $h$ es continua: Considere un conjunto abierto en la base de la topología producto en $Y \times \coprod X_{i}$. Este conjunto es de la forma$E \times F$, $E$ abierto en $Y$, $F$ abierta en $\coprod X_{i}$.

$F$ está abierto en $\coprod X_{i}$ si y sólo si $F \cap X_{i}$ está abierto en $X_{i}$, para cada $i \in I$.

Entonces tenemos:

$h^{-1}(E \times F)$ abierta en $\coprod(Y \times X_{i})$

$\Leftrightarrow h^{-1}(E \times F) \cap (Y \times X_{i})$ abierto en $Y \times X_{i}$, $\forall i \in I$

$\Leftrightarrow (E \times F) \cap (Y \times X_{i})$ abierto en $Y \times X_{i}$, $\forall i \in I$

$\Leftrightarrow (E \cap Y) \times (F \cap X_{i})$ abierto en $Y \times X_{i}$, $\forall i \in I$.

Ahora tenemos $E \cap Y = E$, que se abre en $Y$, e $F \cap X_{i}$ está abierto en $X_{i}$.

Por lo $h^{-1}(E \times F)$ está abierto en $\coprod (Y \times X_{i}).$

Ahora podemos demostrar que $h$ está abierto. Deje $A \subseteq \coprod (Y \times X_{i})$ abierto. Esto significa que $A \cap (Y \times X_{i})$ está abierto en $Y \times X{i}$, para cada $i \in I$. $A$ es una base abierta subconjunto si es de la forma $E \times F$ $E$ abierta en $Y$ $F$ abierta en $X_{i}$ por cada $i$$I$. Ahora tenemos

$h(A)$ abierta en $Y \times \coprod X_{i}$ $\Leftrightarrow E \times F $ abierto en $Y \times \coprod X_{i} \Leftrightarrow$ $E$ abierta en $Y$ $F$ abierta en $X_{i}$, para todos los $i \in I$.

Por lo tanto, $h$ es un homeomorphism.