Muestran que

Question

$\forall\ x,y,z\in \mathbb{R}$ Muestran que: $$|x+y|+|y+z|+|x+z|\leq |x+y+z|+|x|+|y|+|z|$ $

Yo cansado,

noto que $x,y,z$ desempeña un papel simétrico en la desigualdad

Note también

\begin{align*} |x+y|+|y+z|+|x+z|\leq |x+y+z|+|x|+|y|+|z| & \Longleftrightarrow \\ (|x+y|-|x|)+(|y+z|-|y|)+(|x+z|-|z|) \leq |x+y+z| \end{align*} tenga en cuenta que $\forall a,b\in \mathbb{R}\quad |a|-|b|\leq |a+b| $ $$(|x+y|-|x|)+(|y+z|-|y|)+(|x+z|-|z|) \leq |x|+|y|+|z|$ $ estoy atrapado aquí, entonces

¡cualquier ayuda sería apreciada!

Answer 1

Vamos $a=x+y$, $b=x+z$ y $c=y+z$. Entonces, la desigualdad se muestra puede escribirse como

$$ 2(|a|+|b|+|c|) \leq |a+b+c|+|a+b-c|+|a-b+c|+|-a+b+c| \etiqueta{1} $$

Pongamos $f(a,b,c)=|a+b+c|+|a+b-c|+|a-b+c|+|-a+b+c|$. Es fácil ver que $f$ es incluso en cada variable, por lo que $f(a,b,c)=f(|a|,|b|,|c|)$. Por consiguiente, se puede suponer que $a,b,c$ son todos no negativos, por lo que basta con que para mostrar que

$$ 2(a+b+c) \leq |a+b+c|+|a+b-c|+|a-b+c|+|-a+b+c|\etiqueta{2} $$

Pero (2) se sigue de la desigualdad de triángulo, ya que

$$ 2(a+b+c)=(a+b+c)+(a+b-c)+(a-b+c)+(-a+b+c) \etiqueta{3} $$

Answer 2

Demostrar que $\|a\|+\|b\| + \|c\| + \|a+b+c\| \geq \|a+b\| + \|b+c\| + \|c +a\|$ en el plano.

Tenga en cuenta esa identidad:\begin{align*} &(|a|+|b|+|c|-|b+c|-|a+c|-|a+b|+|a+b+c|)(|a|+|b|+|c|+|a+b+c|)\\ &=(|b|+|c|-|b+c|)(|a|-|b+c|+|a+b+c|)+(|c|+|a|-|c+a|)(|b|-|c+a|+|a+b+c|)+(|a|+|b|-|a+b|)(|c|-|a+b|+|a+b+c|) \end{align*}