Cuando A es un Grupo abeliano con acción trivial de G (G es un grupo discreto) obtenemos que Hn(G, A) ≅Hn(BG, A). ¿Hay una conexión similar entre cohomology del grupo y cohomología topológica si A es un módulo de ℤG no trivial? ¿Qué puede decir en ese caso?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Este es un ejemplo de twisted cohomology. En general, para un generalizada cohomology teoría (espectro) E y un espacio X se puede hablar de E-giros sobre X. Esto es una cierta estructura en X. Dado un determinado giro $\tau$, que luego pueden formar la $\tau$-twisted cohomology $E^\tau(X)$. Este fue el tema de un reciente ArXiv papel por Ando, Blumberg-Gepner. Una manera de pensar en esto es que el E-cohomology de X es, naturalmente, calificados por el E-giros. (Este punto de vista es especialmente cuando E es un $E_\infty$-anillo de espectro, en el caso de giros pueden ser agregados y hay una taza tipo de producto de que la fórmula).
En el caso de ordinario cohomology, un giro se reduce a un sistema local en X. Un sistema local es la misma cosa que un functor de la fundamental groupoid de X a la categoría de abelian grupos. Esto puede equivalentemente ser pensado como un localmente constante gavilla de abelian grupos en X, conectando con Sammy Negro de la respuesta. Para más tipos generales de cohomology, estas no corresponden a las poleas en el sentido usual de la palabra. Si usted permite que "gavillas de espectros", usted puede conseguir este trabajo, pero que es una tarea difícil y larga historia.
En el caso de que $X = BG$ (con G discretos), entonces el fundamental groupoid de X es equivalente a la categoría G, es decir, la categoría con un solo objeto con automorfismos el grupo G., a Continuación, un sistema local, es decir, un functor $G \to Ab$ es exactamente el mismo que el de un G-módulo. A continuación, el trenzado cohomology de $BG$ con este giro es exactamente el grupo cohomology de G con valores en el módulo. También hay una similar de homología de la historia.
Jeremy Ruten
Puntos
59989
Tienes que introducir la lengua de las poleas. Entonces, los coeficientes pueden describirse sucintamente como una gavilla localmente constante.
También se puede ver el sistema de coeficiente como un bulto sobre su espacio $BG$ $A$ fibras. Localmente, los coeficientes se comportan como si la $G$-acción eran triviales, pero si uno considera un lazo que representa un elemento no trivial de $\pi_1(BG) = G$, monodromy entra en juego.
Marcel Lamothe
Puntos
133
Para cualquier espacio de $X$ $\pi_1X=G$ y cualquier $ZG$ módulo de $A$, definir $C_*(X;A)$ $C_*(\tilde{X})\otimes_{ZG}A$ y definen $C^* (X;A)$
$Hom_{ZG}(C_*(\tilde{X}),A)$ donde $C_*(\tilde{X})$ es la
(celulares, o en singular) de la cadena compleja de la universalización de la cobertura de $X$ visto como un $ZG$ complejo. (suprimir la notación que involucran a la izquierda v. derecho de acción). A continuación, tomar co/homología. No hace ninguna diferencia si la acción es trivial o no. Si $A$ tiene un trivial de acción, a continuación,$C_*(\tilde{X})\otimes_{ZG}A=C_*(X)\otimes A$$Hom_{ZG}(C_*(\tilde{X}),A)=Hom(C_*(X),A)$. Tomando $X=BG$ responde a su pregunta, suponiendo que como la topología y definir grupo de homología en términos de $BG$
Si prefiere iniciar con un algebraicas definición de grupo cohomology (por ejemplo, la construcción de la barra), entonces usted necesita algún argumento que relaciona al álgebra con una estructura celular para $BG$: pero usted necesita este argumento si o no sus coeficientes son retorcidos.
