¿Por qué don ' t empezamos estudiando cálculo vía serie en vez de los cálculos en expresiones finitas?

Question

Parece que, históricamente, había dos tendencias en la idea de la integración:

• La obra de Newton, que dependía de la serie infinita.
• Leibniz de trabajo de los que dependía el sueño de la integración de funciones elementales en un número finito de combinación de funciones básicas que posteriormente resultó ser imposible por Liouville. Voy a llamar "cálculo de finito de expresiones".

Hice un curso de cálculo y parece que la integración a través de Leibniz camino se vuelve cada vez más complicado a medida que el curso avance. No tengo un curso en la serie, pero parece que la mayoría de las funciones pueden ser representados como el poder infinito de la serie y la integración en la alimentación de la serie (integrando término a término) es a menudo una tarea más fácil.

Hasta ahora, supongo que tenía más evidencia de que el cálculo de la serie es la forma más sencilla y potente que el cálculo de finito de expresiones. Mis dudas son:

• Es esto correcto?

• ¿Por qué no empezar el estudio de cálculo a través de la serie en lugar del cálculo de finito de expresiones?

La mayoría de los libros de los autores parecen pensar diferente acerca de este asunto, porque de su elección de orden en los temas. Pero Kuratowski: Introducción al Cálculo comienza ya con secuencias y series, así que supongo que tal vez esa afirmación podría ser cierta. Aunque también existe otra hipótesis: podría estar dando una conferencia en un sistema educativo en el que el cálculo finito de expresiones enseñaron temprano en la secundaria.

Answer 1

Incluso si uno comienza a estudiar a través de la serie (Y algunos cursos no), uno no suele ir a término por término de integración y de diferenciación para un par de razones:

1. No siempre funciona, y usted tiene que tratar con la convergencia y la convergencia uniforme, y esto sólo hace que sea más difícil a veces, especialmente para un estudiante que acaba de comenzar.
2. No siempre es fácil identificar a una potencia de la serie. Usted puede obtener una potencia de la serie que usted no sabe cómo identificar, y no sé cómo se comporta, pero si se va a realizar el cálculo sin el uso de una serie, se obtiene una expresión que tiene una intuición acerca de. (por ejemplo,$x\sin(x)$, la integración supondría $\sin(x)-x\cos(x)$, que es más fácil de averiguar cómo se comporta sin la serie)
3. Usted todavía tiene que aprender de integración de funciones racionales, como el uso de energía de la serie para ellos requiere (A veces) la multiplicación de la función de la serie, que no es agradable, y no da el conocimiento del resultado.

Answer 2

Término por término de integración y de diferenciación de la serie es muy útil cuando se trabaja, pero clavando precisamente cuando se hace y lo que no necesita más sofisticación matemática de partida para aprender cálculo. Desde el punto de vista de las aplicaciones (es decir, la ciencia y la ingeniería como en comparación con las matemáticas), aprender a utilizar el "peligroso" herramientas matemáticas sin la comprensión de los peligros no es probablemente una buena idea.

Por otro lado, usted podría hacer un caso para el inicio de los llamados "no-estándar" el análisis que hace que el concepto de "infinitesimals" riguroso, y por lo tanto pone la mano-ondulado argumentos de Newton, Leibniz, Euler, etc en un riguroso fundación. Esto evita el uso de límites y $\epsilon$-$\delta$ definiciones.

Véase, por ejemplo, http://www.math.wisc.edu/~keisler/calc.htmlo https://en.wikipedia.org/wiki/Non-standard_calculus (y los enlaces de esa página) para una visión general.