¿Hace L ' Hôpital ' s trabajar la otra manera?

Question

H ello becarios,

Como se menciona en Wikipedia (ver los criterios especificados), la regla de L'Hôpital dice,

$$ \lim_{x\c}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\c}\frac{f'(x)}{g'(x)} $$

Como

$$ \lim_{x\c}\frac{f'(x)}{g'(x)}= \lim_{x\c}\frac{\int f'(x)\ dx}{\int g'(x)\ dx} $$

Sólo por curiosidad, se puede integrar en lugar de tomar un derivado? ¿

$$ \lim_{x\c}\frac{f(x)}{g(x)}= \lim_{x\c}\frac{\int f(x)\ dx}{\int g(x)\ dx} $$

trabajo? (dadas las especificaciones en Wikipedia sólo alrededor de la otra forma: la función debe ser integrable por algún método, etc.) Cuando? Tendría cualquier uso práctico? Espero que esto no suene estúpido, se me acaba de ocurrir, y no puedo encontrar la respuesta a mí mismo.

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(En respuesta a los comentarios y respuestas.)

Tomar 2 funciones de $f$$g$. Cuando se

$$ \lim_{x\c}\frac{f(x)}{g(x)}= \lim_{x\c}\frac{\int_x^c f(a)\ da}{\int_x^c g(a)\ da} $$

verdad?

No digo que siempre funciona, sin embargo, a veces puede ayudar. A veces uno puede aplicar l'Hôpital incluso cuando es una forma indefinida no se alcanza. Tal vez esto sólo funciona en casos excepcionales.

La mayoría de las funciones son simplificados por tomar sus derivados, pero puede ocurrir a través de la integración (decir $\int \frac1{x^2}\ dx=-\frac1x+C$, que es más sencillo). En algunos de esos casos, la integración de funciones de ambos, numerador y el denominador pueden simplificar.

Lo que hacen los (hipotéticos) funciones tienes que hacer que funcione? Y aun en esos casos, es siempre útil? Cómo? ¿Por qué/por qué no?

Answer 1

Con la regla de L'Hospital su límite debe estar de la forma $\dfrac 00$, sus antiderivatives deben tomar el valor $0$ $c$. En este caso tienes $$\lim_{x \to c} \frac{ \int_c^x f(t) \, dt}{\int_c^x g(t) \, dt} = \lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)}$$ provided $g$ satisfies the usual hypothesis that $g(x) \not= 0 $ in a deleted neighborhood of $c$.

Answer 2

Recientemente me encontré con una situación en la que fue útil para ir a través de exactamente este proceso, por lo que (aunque de seguro voy tarde a la fiesta) aquí es una aplicación de la regla de L'Hôpital a la inversa:

Tenemos una lista de los distintos números reales $\{x_0,\dots, x_n\}$. Definimos la $(n+1)$th nodal polinomio como $$ \omega_{n+1}(x) = (x-x_0)(x-x_1)\cdots(x-x_n) $$ Del mismo modo, el $n$th nodal polinomio es $$ \omega_n(x) = (x-x_0)\cdots (x-x_{n-1}) $$ Ahora, supongamos que queremos calcular el $\omega_{n+1}'(x_i)/\omega_{n}'(x_i)$ al $0 \leq i \leq n-1$. Ahora, podríamos calcular el $\omega_{n}'(x_i)$ $\omega_{n+1}'(x_i)$ explícitamente y de ir a través de algunos tedioso álgebra, o podríamos tenga en cuenta que debido a que estos son derivados de la no-cero, tenemos $$ \frac{\omega_{n+1}'(x_i)}{\omega_{n}'(x_i)} = \lim_{x\to x_i} \frac{\omega_{n+1}'(x)}{\omega_{n}'(x)} = \lim_{x\to x_i} \frac{\omega_{n+1}(x)}{\omega_{n}(x)} = \lim_{x\to x_i} (x-x_{n+1}) = x_i-x_{n} $$ Es importante que tanto $\omega_{n+1}$ $\omega_n$ cero en $x_i$, por lo que en aplicación de la regla de L'Hôpital, hemos querido producir una forma indeterminada. Debe ser clara, sin embargo, que el hacerlo nos permitió cancelar factores y por lo tanto (quizás sorprendentemente) nos salvó un poco de trabajo en el final.

Así que sería este método tiene un uso práctico? Ciertamente lo hizo para mí!

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PS: Si alguien se está preguntando, esta era una práctica paso en la demostración de una fórmula recursiva que implican Newton dividido diferencias.

Answer 3

No no es, por ejemplo, considere el límite de $\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}$, L'Hôpital le da 1, pero inversa L'Hôpital va a $-\infty$ (sin la introducción de constantes adicionales).

Answer 4

Hay que recordar que la integral de una función requiere la inclusión de una constante arbitraria. Así que, si $f(x) = x$, entonces el $\int f(x)\ dx = \frac12 x^2 + C$.

Entonces, asumiendo que su regla sostiene, entonces %#% $ #%

Esto significa que usted puede conseguir literalmente cualquier valor que desee.

Answer 5

Si el límite de la relación de estas funciones existe, sospecho que puede ser posible para un determinado definitiva integral a tener el mismo límite. Algo así como:

$$\lim_{x\to \infty}\frac{\int_x^{x+1}f(x)\ dx}{\int_x^{x+1}g(x)\ dx}$$

La idea es que crecemos $x$, y comparar las proporciones de algunas integrales definidas en el barrio de x, de igual anchura y la posición.

Por ejemplo, si imaginamos el caso especial de que las funciones por separado convergen a valores constantes, como los de 4 y 3, entonces si tomamos $x$ lo suficiente, a continuación, que son básicamente dividir 4 por 3. Una integral definida de la anchura de 1 de una función que converge a 4 tiene un valor que es aproximadamente cuatro, cerca de un dominio de valor es lo suficientemente grande.

Pero esto es como un derivado en el disfraz. Si dividimos una integral definida por la longitud del intervalo y, a continuación, reducir el intervalo, básicamente estamos haciendo derivación para obtener la función original que fue integrada. Excepto que no estamos reduciendo el intervalo, ya que no tenemos que: el ancho fijo 1 se convierte en más y más pequeño en relación con el valor de $x$, por lo que es un "cuasi infinitesimal", por así decirlo.

El verdadero problema con esto, incluso si funciona, es que las integrales no parece ofrecer ninguna ventaja. En primer lugar, incluso si la función tiene las propiedades de ser integrable, puede ser que no sea simbólicamente integrable, o puede ser difícil de integrar. La integración produce algo más complejo que el integrando.

La ventaja de la Regla de L'Hôpital es que podemos reducir el poder de las funciones. Si son polinomios, se pierde un grado en la diferenciación, que puede ser útil, y nos da una base para al instante de calcular el límite de los cocientes de polinomios de grado igual simplemente observando las proporciones de su más alto grado de los coeficientes. Y, a continuación, ciertas funciones comunes al menos no cultivar cualquier tipo de cabello adicional en virtud de la diferenciación, como seno, coseno, e a la x.