Cómo entender/recordar Hölder ' desigualdad s

Question

Si $p$ $q$ son números no negativos tales que $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$ e si $f \in L^p$$g \in L^q$, $f\cdot g \in L^1$ y $$\int |fg| \leqslant ||f||_p \cdot ||g||_q$$

Creo que Hölder la desigualdad se deriva con el fin de demostrar la desigualdad de Minkowski, que es una generalización de la desigualdad del triángulo para $L^p$ norma. Pero, ¿hay alguna comprensión intuitiva de Hölder la desigualdad? Es difícil para mí recordar. Parece que es una generalización de la de Cauchy-Schwarz desigualdad, tratando de comparar a $L^2$ producto interior a la norma, pero el poder de cada término es diferente, lo que hace que sea más difícil de ser entendido en comparación con la desigualdad de Minkowski.

Answer 1

Hölder la desigualdad es un intento de generalizar la de Cauchy-Schwarz desigualdad a otros Lebesgue exponentes (otros $L^p$ norma). De hecho, la desigualdad de la forma $$ \|fg\|_1 \leq \|f\|_p \|g\|_q$$ para ser verdad, debemos tener $1/p+1/q=1$. Para ver esto, utilizamos la escala argumento, que también es útil para verificar el correcto exponente para otro tipo de desigualdades (desigualdades de Sobolev, etc.).

Si esa desigualdad fuera cierto, entonces podríamos aplicar la desigualdad de las funciones de $f(\lambda x)$ $g(\lambda x)$ $\lambda\in \mathbb{R}$ para obtener $$ \|fg\|_1 \leq \lambda^{n(1-1/p-1/q)} \|f\|_p \|g\|_q$$ que no puede ser cierto para todos los $\lambda$ si $1/p+1/q=1$. Esta es una manera de ver que, efectivamente, el correcto exponentes debe ser tal que $1/p+1/q=1$.