Flujo de cantidad de campos del vector de desplazamientos no

Question

Que $V,W\in\Gamma(M)$ ser que dos campos del vector. ¿Hay alguna expresión "agradable" para el flujo de $V+W$ en términos de flujo de $V$ y el flujo de $W$? Sería suficiente para poder tener algún tipo de expansión en $\epsilon$ para el flujo de $V+\epsilon W$, por lo menos los primeros pocos términos (o incluso sólo en el orden de $\epsilon$).

En el caso donde es bastante fácil demostrar que $[V,W]=0$ $ $$\varphi_{V+W}^t = \varphi_V^t\circ\varphi_W^t,$, pero el caso de transporte no es de mayor interés para mí.

Answer 1

En la general no los desplazamientos caso, el flujo de $\phi^t_{V+W}$ es igual a la de primer orden tanto en$\phi^t_V \circ \phi^t_W$$\phi^t_W \circ \phi^t_V$. Moralmente, el segundo fin de aproximación debería ser 'a mitad de camino entre los dos anteriores flujos. Desde $\phi^{t}_V \circ \phi^{t}_W \circ \phi^{-t}_V \circ \phi^{-t}_W$ se aproxima por $\phi^{t^2}_{[V,W]}$, esperamos tener

$$ \phi^t_{V+W}(x)= \left(\phi^{t^2}_{\frac{1}{2}[V,W]} \circ \phi^t_W \circ \phi^t_V\right)(x) \, .$$

Pasa a ser de los primeros términos de la Zassenhaus fórmula (en orden inverso) para el mapa exponencial ; Aviso de que se puede interpretar un campo de vectores en un colector $M$ como un elemento de la Mentira álgebra de las infinitas dimensiones de la Mentira de grupo $\mathrm{Diff}(M)$, por lo que tomar el mapa exponencial $\mathfrak{diff}(M) \to \mathrm{Diff}(M)$ corresponde a la integración de campos vectoriales.