La integral indefinida $\int x^2\sqrt{1-x}\,\mathrm dx$

Question

Estoy tratando de obtener la integral $\int x^2\sqrt{1-x}\,\mathrm dx$ pero no sé cómo proceder. Sé que tengo que usar sustitución, pero eso es todo.

Intenté obtener ayuda con el cálculo paso a paso de la integral en wolfram alpha, pero no entiendo cómo llega allí.

Sustituye $u=\sqrt{1-x}$ y $\mathrm du = -\frac{1}{2\sqrt{1-x}}$

y luego se convierte en $-2 \int u^2(1-u^2)^2\,\mathrm du$

¿No entiendo cómo se convierte en eso?

Answer 1

Realizamos los detalles. En un comentario al final, mostramos una forma algo más simple.

Sea $u=\sqrt{1-x}$. Entonces $\dfrac{du}{dx}=-\dfrac{1}{2\sqrt{1-x}}$.

Así que $du=-\dfrac{1}{2\sqrt{1-x}}\,dx$. Dejaste fuera el $dx$, lo que puede ser parte de la razón por la que estás confundido.

Entonces $dx=-2\sqrt{1-x} \,du=-2u\,du$.

Además, dado que $u^2=1-x$, tenemos $x=1-u^2$, y por lo tanto $x^2=(1-u^2)^2$.

Expresando todo en términos de $u$, obtenemos $$\int (1-u^2)^2 (u)(-2u)\,du.$$ Nota que por todo, incluimos $dx$.

Ahora expande el $(1-u^2)^2$, multiplica por $2u^2$ y integra término por término.

Observación: Preferiría hacer la misma sustitución en la forma $u^2=1-x$. Entonces $2u\,du=-dx$, sin desagradables raíces cuadradas, menos álgebra. Pruébalo, te gustará.

Answer 2

Si usas el cambio de variable $u=1-x$ y desarrollas, tendrás que integrar una suma de monomios.

Con tu método, tienes $u=\sqrt{1-x}$, entonces $x=1-u^2$, por lo tanto el factor $(1-u^2)^2$. Luego $\mathrm{d}u=-\frac{\mathrm{d}x}{2\sqrt{1-x}}=-\frac{\mathrm{d}x}{2u}$, por lo tanto $\mathrm{d}x=-2u\mathrm{d}u$. Con el factor adicional $\sqrt{1-x}=u$, obtienes $-2\int u^2(1-u^2)^2 \mathrm{d}u$.