La integral indefinida $\int x^2\sqrt{1-x}\,\mathrm dx$

Question

Estoy tratando de conseguir el % integral $\int x^2\sqrt{1-x}\,\mathrm dx$pero no sé cómo proceder. Sé que tengo que usar la sustitución, pero eso es todo.

Intenté conseguir ayuda con el cálculo integral paso a paso alfa wolfram, pero absolutamente no entiendo cómo llega

Se sustitutivos $u=\sqrt{1-x}$ y $\mathrm du = -\frac{1}{2\sqrt{1-x}}$

y entonces se convierte en $-2 \int u^2(1-u^2)^2\,\mathrm du$

¿No entiendo cómo llega a ser así?

Answer 1

Llevamos a cabo los detalles. En un comentario al final, nos muestran un poco de la manera más sencilla.

Deje $u=\sqrt{1-x}$. A continuación,$\dfrac{du}{dx}=-\dfrac{1}{2\sqrt{1-x}}$.

Por lo tanto $du=-\dfrac{1}{2\sqrt{1-x}}\,dx$. Ha dejado fuera de la $dx$, que puede ser parte de la razón por la que usted está confundido.

Por lo $dx=-2\sqrt{1-x} \,du=-2u\,du$.

También, desde la $u^2=1-x$,$x=1-u^2$, y por lo tanto $x^2=(1-u^2)^2$.

Expresando todo en términos de $u$, obtenemos $$\int (1-u^2)^2 (u)(-2u)\,du.$$ Tenga en cuenta que por todo loincluimos $dx$.

Ahora expandir el $(1-u^2)^2$, se multiplica por $2u^2$, e integrar término a término.

Comentario: yo preferiría hacer la misma sustitución en la forma $u^2=1-x$. A continuación,$2u\,du=-dx$, no desagradables raíces cuadradas, menos de álgebra. Pruébalo, te va a gustar.

Answer 2

Si cambio de la variable $u=1-x$ en el uso y desarrollo, deberás integrar una suma de monomios.

Con su método, usted tiene $u=\sqrt{1-x}$, así $x=1-u^2$, por lo tanto el factor $(1-u^2)^2$. Entonces $\mathrm{d}u=-\frac{\mathrm{d}x}{2\sqrt{1-x}}=-\frac{\mathrm{d}x}{2u}$, por lo tanto, $\mathrm{d}x=-2 u \mathrm{d}u$. Con el factor adicional $\sqrt{1-x}=u$, obtendrá $-2\int u^2(1-u^2)^2 \mathrm{d}u$.