Encontrar $\sum\limits_{k=0}^n k^2$ mediante adición de partes

Question

Perdona que te moleste de chicos de nuevo, pero todavía tengo algunas dudas. Yo creo que estoy haciendo algunos progresos, aunque.

Así que, de nuevo, la fórmula que estoy usando por sumación por partes es

$\sum\limits_{k=o}^n f(k)g(k) = g(n)(\sum\limits_{k=0}^n f(k)) - \sum\limits_{k=0}^{n-1} [\Delta g(k) \sum\limits_{i=0}^k f(i)]$

El uso de esta, yo estoy tratando de encontrar el $\sum\limits_{k=0}^n k^2$. Creo que casi lo tengo, pero hay algunos problemas que todavía no puedo conseguir alrededor.

Conectar $g(k) = k$$f(k)=k$, nos encontramos con las siguientes ecuaciones:

\begin{align} \sum\limits_{k=0}^n k^2 &= \sum\limits_{k=0}^n kk\\ \sum\limits_{k=0}^n k^2 &= n (\sum\limits_{k=0}^n k) - \sum\limits_{k=0}^{n-1}[\sum\limits_{i=0}^k i]\\ \sum\limits_{k=0}^n k^2 &= n(\frac{n(n+1)}{2}) - \sum\limits_{k=0}^{n-1}[\frac{k(k+1)}{2}]\\ \sum\limits_{k=0}^n k^2 &= \frac{n^3 + n^2}{2} - \frac{\sum\limits_{k=0}^{n-1} k^2+k}{2}\\ 2\sum\limits_{k=0}^n k^2 &= n^3 + n^2 - \sum\limits_{k=0}^{n-1} k^2+k\\ 2\sum\limits_{k=0}^n k^2 &= n^3 + n^2 - \sum\limits_{k=0}^{n-1} k^2+ \sum\limits_{k=0}^{n-1}k \end{align}

De todos modos, mi problema es que necesito la parte superior de los índices de la suma en el lado derecho a ser $n$, no $n-1$ (ya he comprobado que, si los índices se $n$, entonces puedo encontrar el resultado deseado). ¿Hay algún truco que me falta para hacer los índices de ir por $1$? O me estoy perdiendo un paso obvio?

Answer 1

Otra manera de hacer esta suma:

$$\int_k^{k+1} x^2\mathrm{d}x=k^2+k+\frac{1}{3}$$

Utilizar suma de $k=0$ $n$ y encontrará:

$$\frac{(n+1)^3}{3}=\int_0^{n+1} x^2\mathrm{d}x=\sum_{k=0}^n \left(k^2+k+\frac{1}{3}\right)$$

Entonces después algunos factorización tenemos:

$$\sum_{k=0}^n k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$

Answer 2

No quiero ser polémico, pero la fórmula que utiliza es un poco feo... me gusta más esta versión

$$\sum f\Delta g=fg-\sum \Delta f\ \mathrm E g$$

Donde delta es el operador diferencia, es decir,$\Delta f(n)=f(n+1)-f(n)$, y E es el operador de desplazamiento, es decir,$\mathrm E f(n)=f(n+1)$.

Me gusta usar también versión recursiva cuando es posible, es decir, cuando puede representar una "analítica" de la diferencia o suma de una función

$$\sum f \Delta g=\sum_{k\ge 0}(-1)^k\ \Delta^k f\ \frac{\mathrm E^k}{\Delta^k}g$$

En su caso, con la última fórmula que puedo escribir

$$f(n)=n \a \Delta f(n)=1 \a \Delta^k f(n)=0,\ k> 1\\ \Delta g(n)=n \to g(n)=\frac{n^\underline 2}{2} \\frac{\mathrm E^k}{\Delta^k}g(n)=\frac{(n+k)^\underline {k+2}}{(k+2)!}$$

Donde $n^\underline k$ es la caída de factorial. Tiene 2 iteración debido a que $\Delta^k f(n)=0,\ k> 1$. Entonces

$$\sum n^2 \delta n=n\frac{n^\underline 2}{2}-\frac{(n+1)^\underline 3}{6}$$

Tomando límites que

$$\sum_{n=0}^{N}n^2=\sum\nolimits_{0}^{N+1} n^2 \delta n=(N+1)\frac{(N+1)^\underline 2}{2}-\frac{(N+2)^\underline 3}{6}=\frac{1}{3}N^3+\frac{1}{2}N^2+\frac{1}{6}N$$

Answer 3

Yo lo solucione así: $p_3(n+1)^3 + p_2(n+1)^2 + p_1(n+1) + p_0 - (p_3n^3 + p_2n^2 + p_1n + p_0) = 1n^2$

A continuación, tratar el polinomio como un espacio vectorial, aplicando el teorema del binomio y la escritura en la forma de la matriz de la resolución de una ecuación lineal del sistema, obtenemos:

$${\bf p} = \left[\begin{array}{r}p_3\\p_2\\p_1\\p_0\end{array}\right] = \left(\left[\begin{array}{cccc}1&0&0&0\\3&1&0&0\\3&2&1&0\\1&1&1&1\end{array}\right] - \left[\begin{array}{cccc}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{array}\right]\right)^{-1} \left[\begin{array}{c}0\\1\\0\\0\end{array}\right] = \left[\begin{array}{r}1/3\\-1/2\\1/6\\0\end{array}\right]$$

Ahora me "engañó" ( vamos octava resolver este sistema de ecuaciones para mí ), así que estoy seguro de que debe ser -1/2 en la plaza del factor y no 1/2.

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EDIT: resulta que he calculado $n+1$ e no $n$. Si yo hubiera comenzado con $P(n) - P(n-1) = n^2$ en lugar de $P(n+1)-P(n) = n^2$ nos habría conseguido 1/2 para el segundo grado. Para comprobar que este es el caso, tenemos la excusa perfecta para hacer otra matriz de ejercicio, esta vez utilizando el binomio de expansión de $(n-1)^k$:

$$\left[\begin{array}{rrrr} 1&0&0&0\\ -3&1&0&0\\ 3&-2&1&0\\ -1&1&-1&1 \end{array}\right)^{-1}\left[\begin{array}{r}1/3\\-1/2\\1/6\\0\end{array}\right] = \left[\begin{array}{r}1/3\\1/2\\1/6\\0\end{array}\right]$$

Answer 4

Como usted probablemente sabe: %#% $ de #% Sabe usted también: $$\sum_{k=0}^{n-1} k = \frac{(n-1)^2+(n-1)}{2} = \frac{n^2-2n+1+n-1}{2} = \frac{n^2-n}{2}$ $ ahora puede sustituir: $$\sum_{k=0}^{n}k^2=n^2+\sum_{k=0}^{n-1}k^2 \rightarrow \sum_{k=0}^{n-1} k^2=\sum_{k=0}^{n} k^2 - n^2$ $ pasar este y que son buenos para ir! $$2\sum_{k=0}^n k^2=n^3+n^2-\left(\sum_{k=0}^n k^2-n^2\right)-\frac{n^2-n}{2}$$ $$3\sum_{k=0}^n k^2=n^3+n^2+n^2-\frac{n^2-n}{2}$$