Existencia de un punto de apoyo

Question

Considere una función $g$ con las siguientes propiedades.

• Es suave.
• $g > 0$ .
• $g \to 0$ en el infinito.
• Tiene al menos dos puntos críticos.
• Hay un número finito de puntos críticos.
• Cada punto crítico está aislado.

Gracias a la respuesta a continuación Voy a añadir una restricción adicional en $g$ .

• $g$ es una función racional.

Estoy añadiendo otra condición después de ver una edición a continuación.

• Cada punto crítico de $g$ es no degenerado; es decir, si $x$ es un punto crítico, entonces $\det g''(x) \neq 0$ .

En el ejemplo siguiente el punto crítico que no es una silla de montar tiene un valor propio nulo y por lo tanto el determinante es cero.

Observa que al menos uno de los puntos críticos tiene que ser un máximo local.

La pregunta es: ¿se $g$ ¿tiene un punto de montura?

En particular, para $g \colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ , lo hace $g$ tienen un punto crítico de índice $n-1$ ?

Si hay alguna referencia que me pueda indicar sería estupendo. Creo que una variante del Teorema del Paso de Montaña puede funcionar...

Answer 1

Consideremos las funciones de la forma $$ g(x,y,a)=a e^{-((x-1)^2+y^2)}+e^{-((x+1)^2+y^2)} $$ donde $a\geq 1$ . Para un valor adecuado de $a$ puede llegar exactamente a los puntos críticos. Uno de ellos será punto de máximo, otro sólo un punto crítico. Condición necesaria para $a$ es $$ \frac{\partial g}{\partial x}(x_0,0,a)=0 $$ $$ \frac{\partial g}{\partial x}(x,0,a)\geq0\quad\text{ for all } x\text{ in the neighborhood of }x_0 $$ A continuación se muestra un gráfico de dicha función. Aproximadamente $a\approx 3$ .

Si exigimos además que las funciones sean racionales, la respuesta sigue siendo no. En efecto, consideremos una función de la forma $$ g(x,y,a)=\frac{a}{(x-1)^2+y^2+1}+\frac{1}{(x+1)^2+y^2+1} $$ donde $a\geq 1$ . Para el valor adecuado de $a$ todavía se obtiene un punto de máximo, un punto crítico y ningún punto de montura. Este valor es aproximadamente igual a $a\approx 2.39$

Answer 2

Esto no satisface todas las condiciones de la pregunta, pero es demasiado largo para un comentario. Tal vez le resulte interesante.

Este es un ejemplo de una función racional que tiene dos máximos locales aislados y ningún punto de equilibrio: $$g(x,y) = \frac1{(x-1)^2+\big(y-\frac1x\big)^2+1} + \frac1{(x+1)^2+\big(y-\frac1x\big)^2+1}$$ Esto es lo que parece. Es sólo la suma de dos "baches racionales", $1/\big((x-1)^2+y^2+1\big)$ y $1/\big((x+1)^2+y^2+1\big)$ compuesto por una transformación $(x,y) \mapsto \big(x,y-\frac1x\big)$ que envía el punto de la silla de montar $(0,0)$ hasta el infinito. La primera vez que vi esto, o algo muy parecido, fue en la página principal de un profesor de matemáticas que también es un usuario activo en este sitio, pero ahora no recuerdo quién era.

Desafortunadamente, cada punto en la línea $x = 0$ también es un punto crítico, que viola un par de sus criterios.