Integral $ \int_0^{2\pi}{ \sqrt{ 1 - \sin{ \theta } \sin{ 2\theta } + \cos{\theta}\cos{2\theta} } d\theta } $

Question

$$ \int_0^{2\pi}{ \sqrt{ 1 - \sin{ \theta } \sin{ 2\theta } + \cos\theta \cos{2\theta} } %sqrt \; d\theta } %int $$

Intenté quitar el $2\theta$ términos, eligiendo la identidad $ \cos{2\theta} = 1 - 2 \sin^2{\theta} $ pero esto da como resultado un plato desagradable:

$$ \int_0^{2\pi}{ \sqrt{ 1 - 4\sin^2{ \theta } \cos{ \theta } + \cos{\theta} } %sqrt \; d\theta } %int $$

¿Cuál es entonces el siguiente paso razonable? ¿Es eliminar $2\theta$ términos una buena estrategia para este problema?

Answer 1

En primer lugar, observe que los términos trigonométricos de la integral son de la forma $\cos A \cos B - \sin A \sin B$ que por una identidad conocida es igual a $\cos (A+B)$ a saber, $\cos \theta \cos 2\theta - \sin \theta \sin 2\theta = \cos 3\theta$ , por lo que se puede escribir la integral como

$$ \int_0^{2\pi} \sqrt{1-\cos 3\theta}\, d \theta $$

A continuación puede utilizar el hecho de que $\cos 2A = 1 - 2\sin^2 A$ es decir $1 - \cos 2A = 2\sin^2 A$ para conseguirlo. $1 - \cos 3\theta = 2 \sin^2 \frac{3\theta}{2}$ . Si se introduce esto, se obtiene

$$\int_0^{2\pi} \sqrt{2 \sin^2 \frac{3\theta}{2}}\, d\theta \\ = \int_0^{2\pi} \sqrt{2} \left| \sin \frac{3\theta}{2} \right|\, d\theta$$

Entonces puedes dividir la integral en donde $\sin \frac{3\theta}{2}$ es positivo y donde es negativo, y la evaluación es elemental.