$\int \limits_0^{\infty} x^2 \exp(-2x^2) dx$

Question

¿Cómo evaluar esta integral?

$$\int \limits_0^{\infty} x^2 \exp(-2x^2) dx$$

Encuentra un problema similar, pero no sé cómo aplicarlas aquí.

¿Lo que tengo que sustituir?

Answer 1

Si reemplazamos $x$ $\sqrt{\frac{y}{2}}$ tenemos:

$$ I = \frac{1}{4\sqrt{2}}\int_{0}^{+\infty}y^{1/2}e^{-y}\,dy = \frac{\Gamma\left(\frac{3}{2}\right)}{4\sqrt{2}}=\color{red}{\frac{1}{8}\sqrt{\frac{\pi}{2}}}.$ $ Tenemos: %#% $ #% puesto que $$\Gamma\left(\frac{3}{2}\right)=\frac{1}{2}\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{\sqrt{\pi}}{2}$ sigue de integración por partes y el $\Gamma(x+1)=x\cdot \Gamma(x)$ ya sabes de antemano el valor de $\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}$, es decir, $\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}\,dx$.

Answer 2

Poner

$$\begin{align}&u=x&u'=1\\{}\\&v'=xe^{-2x^2}&v=-\frac14e^{-2x^2}\end{align}$$

obtenemos la integral es

$$I=\overbrace{\left.-\frac14xe^{-2x^2}\right|_0^\infty}^{=0}+\frac14\int_0^\infty e^{-2x^2}dx$$

Ahora sustituye $\;u=\sqrt2\,x\;\implies\;du=\sqrt2\,dx\;$, y nos

$$I=\frac1{4\sqrt2}\int_0^\infty e^{-u^2}du=\frac{\sqrt\pi}{8\sqrt2}$$

Answer 3

Definimos la función $I(a)$ como

$$\begin{align} I(a)&\equiv\int_0^{\infty}e^{-ax^2}dx\\\\ &=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{a}} \tag 1 \end {Alinee el} $$

Ahora, tomando un derivado con respecto a los $a$ $(1)$ revela

$$\begin{align} I'(a)&=-\int_0^{\infty}x^2e^{-ax^2}dx\\\\ &=-\frac14\sqrt{\pi}a^{-3/2} \tag 2 \end {Alinee el} $$

Ajuste $a=2$ $(2)$ y multiplicar por $-1$ da el resultado deseado

$$\begin{align} -I'(2)&=\int_0^{\infty}x^2e^{-2x^2}dx\\\\ &=\frac18\sqrt{\frac{\pi}{2}} \end {Alinee el} $$

---

NOTA:

Podemos extender la utilidad de este enfoque al notar que

$$\begin{align} I^{(n)}(a)&\equiv \frac{d^n}{dx^n}\int_0^{\infty}e^{-ax^2}dx\\\\ &=(-1)^n\int_0^{\infty}x^{2n}e^{-ax^2}dx\\\\ &=(-1)^n\frac{\sqrt{\pi}}{2}\frac{(2n-1)!!}{2^n}a^{-(2n+1)/2}\\\\ \int_0^{\infty}x^{2n}e^{-ax^2}dx&=\frac{\sqrt{\pi}}{2}\frac{(2n-1)!!}{2^n}a^{-(2n+1)/2} \end {Alinee el} $$

Podemos utilizar el $(2n-1)!!=\frac{(2n)!}{2^n\,n!}$ a escribir

$$\bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{\int_0^{\infty}x^{2n}e^{-ax^2}dx=\frac{\sqrt{\pi}}{2}\frac{(2n)!}{4^n\,n!}a^{-(2n+1)/2}}$$

Answer 4

A menudo hay varias maneras de evaluar algunos integrales. Esta es una de las menos formas estándar.

Considere el integral\begin{align} I(a) = \int_{0}^{\infty} x^2 \, e^{- a x^2} \, dx \end{align} para que\begin{align} I(a) &= - \partial_{a} \, \int_{0}^{\infty} e^{-a x^2} \, dx = - \frac{1}{2} \, \partial_{a} \left( \sqrt{\frac{\pi}{a}} \right) = \frac{1}{4a} \, \sqrt{\frac{\pi}{a}}. \end align {} donde $a=2$ el resultado deseado es obtenido.

Evaluación integral para mayor claridad:\begin{align} J(a) &= \int_{0}^{\infty} e^{-a x^{2}} \, dx \\ &= \frac{1}{2 \sqrt{a}} \, \int_{0}^{\infty} e^{-t} \, t^{-1/2} \, dt \hspace{10mm} t= a x^{2} \\ &= \frac{1}{2\sqrt{a}} \, \sqrt{\frac{\pi}{a}}. \end {Alinee el}

Otros cálculos:\begin{align} \int_{0}^{\infty} x^{2n} \, e^{-a x^{2}} \, dx &= (-1)^{n} \partial_{a}^{n} \left( \frac{1}{2} \sqrt{\frac{\pi}{a}} \right) \\ &= \frac{(2n)!}{2^{2n+1} \, n! \, a^{n}} \, \sqrt{\frac{\pi}{a}} \end {Alinee el}