Biyección continua de $(0,1)$ a $[0,1]$

Question

¿Existe una biyección continua desde $(0,1)$ a $[0,1]$ ? Por supuesto, el mapa no debe ser un mapa propiamente dicho.

Answer 1

No. Si $f:(0,1) \to [0,1]$ fueran continuos y biyectivos, habría un único punto $x \in (0,1)$ tal que $f(x) = 1$ . Sin embargo, dado que $f$ es continua, los intervalos $[x - \varepsilon, x]$ y $[x, x + \varepsilon]$ se asignarían a intervalos $[a,1]$ y $[b,1]$ digamos. Por biyectividad tendríamos $a, b \lt 1$ . Así, todo valor estrictamente comprendido entre $\max{\{a,b\}}$ y $1$ se asumiría al menos dos veces, contradiciendo la biyectividad.

Answer 2

Sea $f:(0,1) \rightarrow [0,1]$ sea continua y suryectiva. (En realidad, basta con suponer que $0$ y $1$ son a imagen y semejanza de $f$ .) Sea $a,b \in (0,1)$ tal que $f(a)=0$ y $f(b)=1$ . Sea $I=[a,b]$ si $a<b$ o $I=[b,a]$ si $b<a$ . Entonces, por el teorema del valor intermedio, $f(I)$ es un intervalo que contiene $0$ y $1$ y así $f(I)$ contiene $[0,1]$ lo que implica $f(I)=[0,1]$ . Pero entonces $f$ no puede ser inyectiva porque $(0,1)\setminus I$ no es vacío.

Answer 3

Supongamos que $f:(0,1) \rightarrow [0,1]$ es 1-1 y continua. Por el teorema del valor intermedio, la imagen de cualquier intervalo bajo $f$ es un intervalo. Dado que $f$ es 1-1, es (estrictamente) monótona creciente o decreciente. Por lo tanto, $f(0,1)$ es un intervalo. Sin pérdida de generalidad, supongamos $f$ está aumentando; si no fuera así, este análisis se aplicaría a $1 - f$ .

Supongamos ahora que $f$ es onto; entonces debemos tener algún $t\in(0,1)$ con $f(t) = 1$ . Porque $f$ es estrictamente monótona creciente, tendríamos que tener $f(s) > 1$ para $t \le s < 1$ . Esto viola la premisa de que $f(0,1) \subseteq [0,1]$ . Por lo tanto, $f$ no puede ser sobre.

Answer 4

Ya que Theo ha dado una respuesta, voy a ser puntilloso y añadir una observación. Cuando se habla de continuidad (especialmente cuando se etiqueta bajo [topología]) es mejor mencionar la topología con la que se está trabajando. En este caso, te refieres a la topología estándar .

En caso contrario, considera la topología discreta, es decir, todo conjunto es abierto:

Sea $f\colon [0,1]\to (0,1)$ sea cualquier biyección, es continua ya que todos los conjuntos son abiertos, la preimagen de un conjunto abierto es un conjunto abierto, por lo tanto $f$ es continua.

Answer 5

No existe una biyección continua de (0,1) a [0,1]. En efecto, sea $f$ sea una función de este tipo. Consideremos una secuencia $x_n=1-1/n$ . Entonces a partir de la secuencia $(f(x_n))$ podemos elegir una subsecuencia $(f(x_{n_k}))$ que es convergente. Denotemos este límite por $y$ . Evidentemente, $y \in [0,1]$ . Desde $f^{-1}$ también es continua, obtenemos $f^{-1}(y)=\lim_{k \to +\infty}f^{-1}(f(x_{n_k}))=\lim_{k \to \infty}x_{n_k}=1$ . Pero $1 \notin (0,1)$ .

Observación (¿Por qué? $f^{-1}$ debe ser continua según nuestra suposición). Según nuestra suposición $f:(0,1)\to [0,1]$ es una biyección continua. Entonces $f:(0,1)\to [0,1]$ debe ser inyectiva y continua, lo que invariancia de dominio (véase, http://en.wikipedia.org/wiki/Invariance_of_domain es un homeomorfismo. Por lo tanto $f^{-1}: [0,1]\to (0,1)$ es continua.