Sea $f\in L^1(R)$ . Me interesan las condiciones necesarias y/o suficientes sobre $f$ que garantizan su transformada de Fourier $\hat f$ estar en $L^1(R)$ .
(Creo que, si $f$ tiene un soporte compacto y está en $C^1$ entonces $\hat f\in L^1$ pero ahora mismo no se me ocurre ninguna prueba; aunque $\hat f\in L^2$ es inmediato a partir del teorema de Plancherel).
He aquí una condición (en $\hat f$ en lugar de $f$ ) que yo sepa no es difícil de demostrar:
- Si $f\in L^1$ es continua y $\hat f\ge 0$ entonces $\hat f\in L^1$ .
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Puede ser útil pensar en la dualidad suavidad-decadencia si tienes una función suficientemente "rugosa" $f \in L^{1}$ entonces $\hat{f}$ decaerá lo suficientemente despacio en el dominio de Fourier para que no sea $L^{1}$ . Obviamente, esto no responde a su pregunta, pero puede orientarle en la dirección correcta.
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Si $f,\hat{f}$ están en $L^1$ entonces $f,\hat{f}\in L^1\cap L^\infty$ . Así, por ejemplo, $|f|^p \le \|f\|_{\infty}^{p-1}|f|$ para $1 \le p < \infty$ . Así que $f,\hat{f}$ debe estar en cada $L^p$ espacio para $1 \le p \le \infty$ . Puede ser casi suficiente suponer esto para $f$ sólo.
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Una condición necesaria es que $f(x) \to 0$ cuando $|x| \to +\infty$ por el lema de Riemann-Lebesgue.