¿Una simple conjetura sobre el número de Chern de un hamiltoniano de 2 niveles $H(\mathbf{k})$?

Question

Por ejemplo, consideremos un hamiltoniano fermiónico cuadrático en una red 2D con simetría de translación, y supongamos que el hamiltoniano transformado de Fourier está descrito por una matriz hermética $2\times2$ $H(\mathbf{k})=a(\mathbf{k})\sigma_x+b(\mathbf{k})\sigma_y+c(\mathbf{k})\sigma_z $ y tiene una brecha de energía finita, entonces el número de Chern $N$ se puede determinar.

Si $H(-\mathbf{k})=H(\mathbf{k})$ se cumple para todo $\mathbf{k}\in BZ$, entonces el número de Chern $N$ siempre es un número par, ¿verdad? Esto parece ser cierto desde la interpretación geométrica del número de Chern como un número de vueltas que cubre una esfera unitaria, pero aún no he encontrado una prueba matemática rigurosa.

Observación: La condición necesaria brecha de energía finita ($\Leftrightarrow$ El mapa $(a(\mathbf{k}),b(\mathbf{k}),c(\mathbf{k}))/\sqrt{a(\mathbf{k})^2+b(\mathbf{k})^2+c(\mathbf{k})^2}$ de BZ (toro 2D) a la esfera unitaria está bien definido) es para asegurar que el número de Chern/número de vueltas esté bien definido.

Answer 1

Acabo de encontrar un argumento relativo riguroso que apoya mi conjetura:

El número Chern $N=\frac{1}{2\pi}\int _{BZ}b(\mathbf{k})$, donde $b(\mathbf{k})$ es la curvatura de Berry. Dado que $H(-\mathbf{k})=H(\mathbf{k})$, es fácil mostrar que $b(-\mathbf{k})=b(\mathbf{k})$, en consecuencia, podemos dividir el $BZ$ en dos mitades llamadas $BZ_1$ y $BZ_2$, por lo tanto, $N=\frac{1}{2\pi}\int _{BZ_1}b(\mathbf{k})+\frac{1}{2\pi}\int _{BZ_2}b(\mathbf{k})=2\times \frac{1}{2\pi}\int _{BZ_1}b(\mathbf{k})$. Ahora hay dos formas de demostrar que $\frac{1}{2\pi}\int _{BZ_1}b(\mathbf{k})$ es un número entero,

(1) Debido a la relación $b(-\mathbf{k})=b(\mathbf{k}) y la estructura periódica del $BZ$, la mitad de la zona de Brillouin $BZ_1$ es topológicamente equivalente a una esfera, y el 'flujo' a través de una esfera (superficie cerrada) $\frac{1}{2\pi}\int _{BZ_1}b(\mathbf{k})$ debe estar cuantizado como un número entero;

(2) Dado que $H(-\mathbf{k})=H(\mathbf{k})$, la función eigen $\psi(\mathbf{k})$ también es par (es decir, $\psi(-\mathbf{k})=\psi(\mathbf{k})$), entonces la conexión de Berry $\mathbf{a(k)} \propto \left \langle \psi(\mathbf{k})\mid \bigtriangledown_{\mathbf{k}} \psi(\mathbf{k})\right \rangle$ es impar, por lo tanto, es fácil mostrar que $\int _{BZ_1}b(\mathbf{k})=\oint _ {\partial BZ_1}\mathbf{a(k)}\cdot d\mathbf{k}=0$ (donde $\partial BZ_1$ es el límite de $BZ_1$), sin embargo, para ser consistente, el número '0' (fase de Berry) aquí debería entenderse como $2\pi\times entero$.

Observación: El punto clave en nuestro argumento (1) es que los puntos $\mathbf{k}$ y $-\mathbf{k}$ son equivalentes, y por lo tanto la mitad del $BZ$ es topológicamente equivalente a una esfera que es una superficie cerrada.

Answer 2

Estoy de acuerdo con tu argumento, pero pensé que simplemente reformularía la misma lógica de una manera ligeramente diferente, similar a como uno lo demostraría en un curso de topología algebraica. (Lo habría hecho como comentario, pero es un poco demasiado grande para eso).

Básicamente, el número de Chern mide la topología del mapa $\newcommand{\ra}[1]{\kern-1.5ex\xrightarrow{ \ \ #1\ \ }\phantom{}\kern-1.5ex}T^2 \;\ra{n} \; \;S^2$, donde $n(\mathbf k) = (a(\mathbf k),b(\mathbf k),c(\mathbf k))$. Más exactamente, el mapa $n$ induce un mapa de los grupos de homología $\newcommand{\ra}[1]{\kern-1.5ex\xrightarrow{ \ \ #1\ \ }\phantom{}\kern-1.5ex}H_2(T^2) \; \;\ra{n} \; \;H_2(S^2)$ y el número de Chern viene dado por $n ([T^2]) = C_1 *[S^2]$, donde $[X]$ es el generador del grupo $H_2(X)$.

Ahora, debido a la propiedad de $n$, podemos escribir el siguiente diagrama conmutativo:

$\newcommand{\ra}[1]{\kern-1.5ex\xrightarrow{ \ \ #1\ \ }\phantom{}\kern-1.5ex} \begin{array}{ccccc} T^2 && \ra{\qquad\quad n \qquad\quad} & &S^2 \\ &\searrow_g&&\nearrow_h& \\ && (T^2/\sim) \;\simeq S^2& \end{array}$

donde $g$ es el mapa que identifica los puntos $\mathbf k$ y $-\mathbf k$ en el toro. Como señalas, este espacio cociente es homotópicamente equivalente a $S^2$. Lo anterior también implica un diagrama conmutativo para los grupos de homología, de manera que $n([T^2]) = h \circ g ([T^2])$, pero está claro que $g ([T^2]) = 2 [S^2]$. (Se puede justificar rigurosamente utilizando el hecho de que cada punto en $S^2$ tiene dos pre-imágenes en $T^2$.) Por lo tanto, hemos demostrado que $C_1 [S^2] = 2 \; h([S^2])$, es decir, $C_1$ es par.