Hay una interesante propiedad de que si $(X,\mathcal{T})$ $(Y,\mathcal{S})$ son espacios topológicos, entonces el Borel $\sigma$-álgebra de $X\times Y$ con el producto de la topología incluye el producto $\sigma$-álgebra de Borel $\sigma$-álgebras de los respectivos espacios, y si los espacios son en realidad la segunda contables, estos dos $\sigma$-álgebras de coincidir.
¿Todavía si uno de los espacios es sólo conocido por ser un espacio métrico? Vamos a decir $(X,\mathcal{T})$ es segundo contable, sino $(Y,d)$ es sólo conocido por ser un espacio métrico. ¿Aún sostienen que el Borel $\sigma$-álgebra en $X\times Y$ es el mismo que el del producto $\sigma$-álgebra de Borel $\sigma$-álgebras en $X$$Y$?
Traté de tomar cualquier conjunto abierto $A$$X\times Y$. Desde $X$ es segundo contable, existe una contables base $\{U_n\}_{n\in\mathbb{N}}$. Así que para cualquier $n$$\epsilon>0$,$$V_{n,\epsilon}=\{y\in Y\mid\text{ for some }\delta>0, U_n\times B_{\epsilon+\delta}(y)\subset A\}.$$ [Here $ B_r(s)$ is the ball centered at $s$ of radius $r$.] I was then trying to show that $$ can be written as an arbitrary union of sets of form $U_n\times V_{n,\epsilon}$, with $\epsilon$ posiblemente diferentes, para probarlo. Hay una manera de profundizar en esta idea?
