¿Cuando está energía de $(p-2)!-1$ $p$ si $p$ es primo?

Question

¿Si $p$ es primo, #% es para qué valores de $p$% #% una potencia de $(p-2)!-1$? Quiero saber como solucionar que cuando $p$ y $p<5$ puede ser escrito como poder de $(p-1)!+1$.

Answer 1

Más general: Si $n\in\mathbb Z_{\ge 2}$, $k\in\mathbb Z_{\ge 0}$:

entonces todas las soluciones de $(n-2)!-1=n^k$ son $(n,k)=(4,0),(5,1)$.

Comprobación de $n\in\{2,3,4,5\}$ da las soluciones. Que $n\ge 6$; entonces $k\ge 1$.

Claramente es impar; $n$ también $2<\frac{n-1}{2}\le n-2$, que $n-1\mid (n-2)!=n^k+1$.

Pero también $n-1\mid n^k-1=(n-1)\left(n^{k-1}+n^{k-2}+\cdots+1\right)$.

Por lo tanto $n-1\mid \left(n^k+1\right)-\left(n^k-1\right)=2$, que $n-1\le 2$, contradicción.