Es un espacio métrico perfectamente normal?

Question

Yo normalmente como a la práctica mis conocimientos sobre un concepto específico haciendo pruebas usando una definición de un término y, a continuación, haciendo las mismas pruebas usando una definición equivalente (sin la inducción de la equivalencia). Sin embargo, estoy atascado en el siguiente:

Decimos que un espacio topológico $(S,T)$ es perfectamente normal si para cada conjunto cerrado $F\subseteq S$ no es una función continua $f:S\rightarrow\mathbb{R}$$F=\{x\in S:f(x)=0\}$.

Podemos probar que un espacio métrico es perfectamente normal por esta definición?

He visto algunos posts (post 1, post 2) donde esta solo sigue como corolario. Más específicamente, se sigue por la equivalencia de las definiciones y los resultados que se métrica espacios son normales y $G_\delta$. Sin embargo, me pregunto si no fue un enfoque más directo, frente a una rotonda método?

Answer 1

Para todos no vacío$A \subset X$ la función "menor distancia a$A$" dada por$$x \mapsto \operatorname{dist}{(x,A)} = \inf\limits_{a \in A}\;d(x,a)$$ is continuous (even $ 1$-Lipschitz) and it is zero precisely on the closure of $ $ A, véase este hilo para algunas pruebas de ese hecho .

Si$A \neq \emptyset$ se cierra a continuación$A = \{x \in X\,:\,\operatorname{dist}(x,A) = 0\}$. Si$A = \emptyset$ toma una función constante no cero.