¿Existe una clasificación de los anillos locales con el grupo trivial de unidades?

Question

Por curiosidad, ¿hay una clasificación de todos los anillos locales con el grupo trivial de unidades?

Supongo que lo que estoy tratando de hacer es, si se lo pidiera para todos locales anillos$R$ con$R^\times=\{1\}$, ¿cuáles serían?

Answer 1

En un anillo local, los no-unidades son precisamente el ideal maximal y, en particular, son cerrados bajo adición. Para cualquier$x \in R$, tenemos$x + (1-x) = 1$, una unidad, y por lo tanto al menos uno de$x$ y$1-x$ es una unidad. Desde 1 es la única unidad, se deduce que, o bien$x=0$ o$x=1$. Desde$x$ fue arbitraria, llegamos a la conclusión de que$R$ es el campo de 2 elementos.