La curvatura de la imagen de una curva proyecta sobre una superficie

Question

(La adición de una recompensa ya que la necesito más detalles de lo que tengo hasta ahora)

Dado un punto $$ s_{0}=S(u_{0},v_{0}) \;\;\;\; (S:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{3}) $$ y un punto $$ c_{0}=C(t_{0}) \;\;\;\; (C:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^{3}) $$ donde C y S son ambos dos veces diferenciable, vamos a $s_0$ ser uno de, posiblemente, muchas de las proyecciones de $c_0$ a S. Además, se asume por simplicidad que $c_0$ es el único punto en C que los proyectos a $s_0$. Entonces, asumiendo que C'(t₀) no es ortogonal a S en $s_0$, $s_0$ es un punto normal, en una proyección de la curva de $$ C_{S}(t_{0}) \;\;\;\; (C_{S}:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^{3}). $$

(EDITADO para evitar la mención de los derivados, ya que no hay libertad en la elección de la parametrización de C_S)

¿Cuál es la curvatura de $C_S$$s_0$?

No tengo ningún problema en venir para arriba con una expresión para la orientación de la unidad de la tangente de C_S como una proyección de C'(t₀) en el espacio de la tangente de S en $s_0$, pero la curvatura es más difícil y supongo que involucra algo de la geometría diferencial, que yo soy débil.

Answer 1

Una idea: en Lugar de la proyección de cada una de las $C(t)$ hacia abajo a $S$, proyecto de cada una de las $S(u,v)$ hasta que el avión $P$ a través de $C(t_0)$ que contiene $C$'s de la primera y segunda derivadas. Encontrar los coeficientes de segundo grado con parámetros de la curva en $S$ de manera tal que la primera y la segunda derivadas de su imagen en $P$ coincide con los de $C$.

Si usted representa a $S$ como su desarrollo de Taylor en torno a $S(u_0,v_0)$, este procedimiento debería dar las coordenadas de la curvatura de la imagen de $C$$S$, como expresiones racionales en los diversos (primer y más alto) derivadas parciales en $u_0$, $v_0$, $t_0$. Si desea que la métrica de la curvatura de la incrustación, se puede convertir en tu tiempo libre usando las propiedades de $S$ solamente.

Answer 2

He aquí algunos de los posibles detalles que podrían ayudar a resolver el problema:

1. La normal de proyección es probable que el ser $p:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3$.
2. Para elegir una curva de la superficie, usted necesitará $k :\mathbb{R}\to\mathbb{R}^2$
3. ahora hay dos caminos por los que los resultados en el mismo punto: $$ kS : \mathbb{R}\to\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3 $$ y $$ C p : \mathbb{R}\to\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 $$
4. A continuación, necesitará función de distancia $ d : \mathbb{R}^3\times\mathbb{R}^3\to\mathbb{R} $
5. Esto se traduce en una ecuación de $d(kS(m),Cp(m)) = 0$ (el saber cómo resolver esta ecuación es un poco difícil)
6. la solución de esta ecuación, usted puede encontrar los valores de $u_0, v_0, s_0$, todos estos pueden ser derivadas de una sola $m : \mathbb{R}$ del valor.
7. Siguiente ir a la tangente, puede utilizar cualquiera de Cp o kS para la definición, mediante el uso de (Cp(m))' y la ecuación y=f(a)-f'(a)(x-a) para cada componente de x,y,z de Cp(m).
8. Ahora curvatura es $dT/ds$, donde T es la tangente como un vector, y s=m. Por lo que sólo es necesario un vector $[f_x'(a),f_y'(a),f_z'(a)]$.

Con todo, parece que el problema era un poco difícil. Se olvidaron de mencionar la existencia de p, k, d y la ecuación(s). Se olvidaron de mencionar que es un retroceso. (esto sería un poco la información necesaria.) Hubo grandes problemas al tratar de resolver(y la solución aún podría ser roto de alguna manera):

1. el problema de las funciones de todos los terminó en $\mathbb{R}^3$ y es imposible o al menos muy difíciles de resolver si no uso d, encontrando $s_0$ sería imposible sin d.
2. Para la tangente y la curvatura, la falta de funciones p y k fueron críticos. Encontrar cualquiera de ellos podría resolver el problema.(la solución es incorrecta si no encuentras esas funciones)

Answer 3

Aquí está mi intento. Esto se vuelve muy desordenado a mitad de camino a través, así que por favor leer con un ojo para la captura de los errores (grande o pequeño).

Vamos $$\tilde{S}(u,v)=(\tilde{x}(u,v),\tilde{y}(u,v),\tilde{z}(u,v))$$ be your original surface with $\tilde{S}(u_0,v_0)=\tilde{s}_0$. The first goal is to translate and rotate so that the surface at $(u_0,v_0)$ tiene algunas características más agradable.

Nos gustaría encontrar dos no paralelos prueban los vectores de tangentes a$\tilde{S}$$\tilde{s}_0$. Se puede intentar el uso de $\tilde{S}_u(u_0,v_0)$$\tilde{S}_v(u_0,v_0)$, pero no estoy seguro de que estos vectores están garantizados para ser no paralelos prueban. Además, el enfoque que estamos a punto de ir con la voluntad de ser útil para el resto del problema.

A nivel local en torno $\tilde{s_0}$, vistas a la $\tilde{z}$ como una función de la $\tilde{x}$$\tilde{y}$. A menos que estemos muy mala suerte y el plano tangente a $\tilde{S}$ $s_0$ es paralela a la $z$-eje, podemos hacer esto. Ahora calculamos las derivadas parciales usando la Regla de la Cadena para multivariante funciones:

\begin{align*}\frac{\partial\tilde{z}}{\partial\tilde{x}}&=\frac{\partial\tilde{z}}{\partial\tilde{u}}\frac{\partial\tilde{u}}{\partial\tilde{x}}+\frac{\partial\tilde{z}}{\partial\tilde{v}}\frac{\partial\tilde{v}}{\partial\tilde{x}}\\ \Rightarrow\tilde{z}_{\tilde{x}}& =\frac{\tilde{z}_u}{\tilde{x}_u}+\frac{\tilde{z}_v}{\tilde{x}_v}\end{align*}

Del mismo modo, \begin{align*}\tilde{z}_{\tilde{y}}& =\frac{\tilde{z}_u}{\tilde{y}_u}+\frac{\tilde{z}_v}{\tilde{y}_v}\end{align*}

Ambos de estos derivados pueden ser evaluados en $(u_0,v_0)$ (suponiendo que no tenemos que dividir por $0$). Esto nos permite escribir dos no paralelos prueban los vectores de tangentes a$\tilde{S}$$\tilde{s}_0$:

\begin{align*}\langle 1, 0, {\tilde{z}}_{\tilde{x}}\rangle\end{align*} \begin{align*}\langle 0, 1, {\tilde{z}}_{\tilde{y}}\rangle\end{align*}

Estos vectores no son ortonormales, pero podemos utilizar las bacterias Gram-Schmidt proceso para reemplazarlos con ortonormales de vectores $\vec{p}$ $\vec{q}$ que abarcan el plano tangente a$\tilde{S}$$\tilde{s}_0$. Además, podemos encontrar una tercera base de vectores ortonormales para $\mathbb{R}^3$: $\vec{r}=\vec{p}\times\vec{q}$. El uso de estos vectores, podemos construir la matriz de rotación $M$ que se lleva el plano tangente a $\tilde{S}$ $\tilde{s}_0$ $xy$- plano. Específicamente, $M=\left[\vec{p}\;\vec{q}\;\vec{r}\right]^{-1}$.

Ahora bien, todo el sistema puede ser traducido y gira de manera que la superficie en $(u_0,v_0)$ tiene plano tangente igual a la $xy$-plano, y por lo que $\tilde{s_0}$ pasa a la de origen. Vamos $$S(u,v) = M\cdot\left(\tilde{S}(u,v)-\tilde{s}_0\right)$$ Note that $S$ es como se describe.

Del mismo modo, tenemos que mover la curva original. Si que fue dado por $\tilde{C}(t)=(\tilde{i}(t),\tilde{j(t)},\tilde{k}(t))$, vamos a $$C(t)=M\cdot\left(\tilde{C}(t)-\tilde{s_0}\right)$$

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Ahora viene la parte difícil. Para repetir, ahora tenemos una superficie de $S(u,v)$ $S(u_0,v_0)$ en el origen y el plano tangente en el origen igual a la $xy$-plano. Como consecuencia, $c_0$ está en algún lugar a lo largo de la $z$-eje. Si $$S(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))$$ we will again view $z$ as a function of $x$ and $s$. If we can find the three second derivatives of $z$ ($z_{xx}, z_{xy}, z_{yy}$) we can approximate the surface $S$ con el gráfico de segundo grado del polinomio.

Estos derivados no están inmediatamente disponibles para nosotros, pero se puede encontrar utilizando la Regla de la Cadena para multivariante funciones:

\begin{align*}z_{xx} & = \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)\\ & = \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}\right)\\ & = \frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 z}{\partial x\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial^2 v}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 z}{\partial x\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}\\ & = z_u\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{1}{x_u}\right)+\frac{\partial z_u}{\partial x}\frac{1}{x_u}+z_v\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{1}{x_v}\right)+\frac{\partial z_v}{\partial x}\frac{1}{x_v}\\ & = -\frac{z_u}{x_u^2}\frac{\partial x_u}{\partial x}+\frac{1}{x_u}\frac{\partial z_u}{\partial x}-\frac{z_v}{x_v^2}\frac{\partial x_v}{\partial x}+\frac{1}{x_v}\frac{\partial z_v}{\partial x}\\ & = -\frac{z_u}{x_u^2}\left(x_{uu}u_x+x_{uv}v_x\right)+\frac{1}{x_u}\left(z_{uu}u_x+z_{uv}v_x\right)\\&-\frac{z_v}{x_v^2}\left(x_{uv}u_x+x_{vv}v_x\right)+\frac{1}{x_v}\left(z_{uv}u_x+z_{vv}v_x\right)\\ & = -\frac{z_u}{x_u^2}\left(\frac{x_{uu}}{x_u}+\frac{x_{uv}}{x_v}\right)+\frac{1}{x_u}\left(\frac{z_{uu}}{x_u}+\frac{z_{uv}}{x_v}\right)\\&-\frac{z_v}{x_v^2}\left(\frac{x_{uv}}{x_u}+\frac{x_{vv}}{x_v}\right)+\frac{1}{x_v}\left(\frac{z_{uv}}{x_u}+\frac{z_{vv}}{x_v}\right)\\ \end{align*}

No me sorprendería si esto puede ser reqrouped y simplificado. Los otros dos derivados $z_{yy}$ $z_{xy}$ puede ser encontrado de manera similar. Por razones obvias, no quiero escribir aquí.

Así que...después de evaluar a $(u_0,v_0)$, tenemos la capacidad para reemplazar a $S$ con un segundo grado de aproximación a $$S(x,y)\approx \left\langle x,y,\frac{1}{2}z_{xx}(u_0,v_0)x^2 +z_{xy}(u_0,v_0)xy+\frac{1}{2}z_{yy}(u_0,v_0)y^2\right\rangle$$

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Por último, si $C(t)=(i(t),j(t),k(t))$, su proyección en el segundo grado de aproximación es $$P(t)=\left\langle i(t),j(t),\frac{1}{2}z_{xx}(u_0,v_0)i(t)^2 +z_{xy}(u_0,v_0)i(t)j(t)+\frac{1}{2}z_{yy}(u_0,v_0)j(t)^2\right\rangle$$

En este punto tenemos una explícita segundo grado de aproximación para la proyección de la curva sobre la superficie en términos de $t$. Podemos encontrar la curvatura de este spacecurve en la forma estándar.