complejo perfecto y la categoría derivada de una variedad proyectiva suave

Question

Sé que en un suave proyectiva variedad coherente gavilla tiene un número finito localmente libre de resolución. He leído por ahí que esto implica que cualquier objeto en $D^b(X)$ $X$ liso proyectiva, entonces es isomorfo en $D^b(X)$ a un complejo de localmente libre de objetos. A mí me parece que debe ser una prueba por inducción sobre la longitud de la compleja, pero estoy bastante perdido en acercarse a ella. Me podría dar alguna (incluso muy grandes) ayuda o referencia para una prueba?

Lo que puedo mostrar es que cada objeto es cuasi-isomorfo a su resolución, ya que si tenemos \begin{equation} \ldots \rightarrow \mathcal{E}^1 \rightarrow \mathcal{E}^0 \xrightarrow{f} \mathcal{F} \rightarrow 0 \end{equation} Puedo ver $\mathcal{F}$ como un complejo que viven sólo en el grado 0, de la resolución como un complejo cuyo grado 0 es $\mathcal{E}^0$ y el cuasi-isomorfismo de complejos como ser dado por $f$. Aunque, no sé cómo generalizar este proceso de complejos con arbitrarias de longitud finita.

Otra cosa que pensé es que yo podría tratar de usar el finito resoulutions de cada gavilla en el complejo y ponerlos juntos en una forma adecuada. Es allí cualquier manera inteligente de hacerlo?

Answer 1

Vamos $$\mathcal{F}_\bala=\dots\stackrel{d^\mathcal{F}_3} {\}\mathcal{F}_2 \stackrel{d^\mathcal{F}_2} {\}\mathcal{F}_1 \stackrel{d^\mathcal{F}_1} {\}\mathcal{F}_0 \stackrel{d^\mathcal{F}_0} {\,} 0\a\dots$$ ser un delimitada complejo coherente de las poleas (suponiendo, sin pérdida de generalidad que $\mathcal{F}_i=0$$i<0$).

A continuación, puede construir un local libre de resolución $$\begin{array}{ccccccccccc} \dots&\stackrel{d^\mathcal{E}_3}{\to}&\mathcal{E}_2& \stackrel{d^\mathcal{E}_2}{\to}&\mathcal{E}_1& \stackrel{d^\mathcal{E}_1}{\to}&\mathcal{E}_0& \stackrel{d^\mathcal{E}_0}{\to}&0\to&\dots\\ &&\downarrow&&\downarrow&&\downarrow&&\downarrow&\\ \dots&\stackrel{d^\mathcal{F}_3}{\to}&\mathcal{F}_2& \stackrel{d^\mathcal{F}_2}{\to}&\mathcal{F}_1& \stackrel{d^\mathcal{F}_1}{\to}&\mathcal{F}_0& \stackrel{d^\mathcal{F}_0}{\to}&0\to&\dots \end{array}$$ empezando con cualquier epimorphism $\mathcal{E}_0\to\mathcal{F}_0$ a partir de una localmente libre gavilla de a $\mathcal{F}_0$, y una vez construido $\mathcal{E}_i$ y todos los mapas para $i<k$, teniendo en $\mathcal{E}_k$ a cualquier localmente libre gavilla con un epimorphism a la retirada de la obvia diagrama $$\begin{array}{ccc} &&\ker(d^\mathcal{E}_{k-1})\\ &&\downarrow\\ \mathcal{F}_k&\to&\ker(d^\mathcal{F}_{k-1}) \end{array}$$

Answer 2

Aquí está una idea aproximada de por qué las poleas pueden ser identificados con sus proyectivas de las resoluciones en la derivada de la categoría.

Recordemos que para un abelian categoría $\mathcal A$, la limitada derivada de la categoría se define como la localización de la homotopy categoría de delimitada de la cadena de cocomplexes $K^b(\mathcal A)$ en el conjunto de cuasi-isomorphisms. Recuerda que un mapa de $f:C^\bullet\to D^\bullet$ de cocomplexes es un cuasi-isomorfismo si $H^i(f)$ es un isomorfismo para todos los $i$.

Ahora, es un hecho básico en álgebra homológica que una resolución proyectiva $$ \dotsb \P^{-2}\P^{-1}\F\a 0 $$ es la misma cosa como un cuasi-isomorfismo $P^\bullet\to F$. Se puede demostrar esto?

Puesto que la derivada de la categoría invierte cuasi-isomorphisms tenemos la justificación de por qué los objetos pueden ser identificados con sus resoluciones.