Computar $\lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n} \left(\frac{k}{n^2}\right)^{\left(\frac{k}{n^2} + 1\right)}$

Question

Calcular el límite $$\lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n} \left(\frac{k}{n^2}\right)^{\frac{k}{n^2} + 1}$$

En un primer vistazo, sólo pensé en las sumas de Riemann, pero no veo cómo puedo aplicarlo. ¿Qué otra cosa podría hacer? Necesito algunas pistas, sugerencias.

Answer 1

1. Límite superior Por cada $1\leqslant k\leqslant n$ , $$ \left(\frac{k}{n^2}\right)^{1+\frac{k}{n^2}}\leqslant\frac{k}{n^2}. $$ Sumando estos y utilizando el hecho de que la suma de los $n$ primeros enteros positivos es $\frac12n(n+1)$ se ve que el $n$ La suma de los dos $S_n$ es tal que $$ S_n\leqslant\sum_{k=1}^n\frac{k}{n^2}=\frac{n+1}{2n}. $$ 2. Límite inferior Por cada $1\leqslant k\leqslant n$ , $$ \left(\frac{k}{n^2}\right)^{1+\frac{k}{n^2}}\geqslant\left(\frac{k}{n^2}\right)^{1+\frac1{n}}. $$ La comparación habitual de una suma con una integral, más el hecho de que la función $u:x\mapsto x^{1+1/n}$ está aumentando en $(0,1)$ , rendimiento $$ S_n\geqslant n^{-1-1/n}\sum_{k=1}^nu(k/n)\geqslant n^{-1/n}\int_0^1u(x)\,\mathrm dx=\frac{n^{1-1/n}}{2n+1}. $$ 3. Coda Los límites superior e inferior de $S_n$ que son válidos para cada $n\geqslant1$ , ambos convergen a $\frac12$ cuando $n\to\infty$ de ahí que el teorema de los gendarmes garantiza que $\lim\limits_{n\to\infty}S_n=\frac12$ .

Answer 2

Dejemos que

$$\begin{align}x=\frac{k}{n^2}=O(\frac{1}{n})\end{align}$$

y cuando $n$ es lo suficientemente grande,

$$\begin{align} (\frac{k}{n^2})^{\frac{k}{n^2}}=e^{x \log{x}}=1+O(x\log x) \end{align}$$

donde la constante Big O es absoluta.

$$\begin{align} O(\sum_{k=1}^{n}\frac{k}{n^2}\frac{k}{n^2}\log{\frac{k}{n^2}})=O(\sum_{k=1}^{n}\frac{k}{n^2}\frac{k}{n^2}\log{k})+O(\sum_{k=1}^{n}\frac{k}{n^2}\frac{k}{n^2}\log{n^2})=o(1) \end{align}$$

Por lo tanto, la parte principal de la suma es

$$\begin{align} \sum_{k=1}^{n}\frac{k}{n^2}=\frac{1}{2}+o(1) \end{align}$$

Q.E.D.

Answer 3

Sí, Riemann parece una buena idea. Usando $n$ puntos equidistantes con distancias $\frac1{n^2}$ en el intervalo $\left[0,\frac1n\right]$ Esperamos que $$\tag{1}\int_0^{\frac1n} x^{x+1} dx\approx \frac1{n^2}\sum_{k=1}^n \left(\frac k{n^2}\right)^{\frac k{n^2}+1}.$$ Más concretamente, la derivada del integrando $f(x):=x^{x+1}=\exp((x+1)\ln x)$ es $f'(x)=(\ln x + 1+\frac1x)x^{x+1}$ . Tenga en cuenta que $\ln x + 1 + \frac1x=-y+1+e^y$ con $y=-\ln x$ y $y\to+\infty$ como $x\to 0^+$ . Para un tamaño suficientemente pequeño $x$ el exponencial en $y$ dominará el polinomio en $y$ es decir $f'$ será positivo y por lo tanto $f$ estrictamente creciente. Por lo tanto, el $\approx$ en $(1)$ puede deshacerse por una cantidad suficientemente grande $n$ de la siguiente manera: $$\tag{2}\int_0^{\frac1n} x^{x+1} dx\le \frac1{n^2}\sum_{k=1}^n \left(\frac k{n^2}\right)^{\frac k{n^2}+1}\le\int_{\frac1{n^2}}^{\frac1n+\frac1{n^2}} x^{x+1} dx.$$ Además, podemos suponer que $\frac1n+\frac1{n^2}\le 1$ y por tanto que el integrando es $\le x^1$ . Esto hace que la integral del lado derecho de $(2)$ $$\le \int_{\frac1{n^2}}^{\frac1n+\frac1{n^2}} x dx=\frac12\left(\left(\frac1n+\frac1{n^2}\right)^2-\left(\frac1{n^2}\right)^2\right)=\frac{n+2}{2n^3}$$ Así, para casi todos los $n$ $$\tag{3}\sum_{k=1}^n \left(\frac k{n^2}\right)^{\frac k{n^2}+1}\le\frac{n+2}{2n}=\frac12+\frac1n.$$

Para $0\le x\le \frac1n<1$ tenemos $x^{x+1}\ge x^{1+\frac1n}$ por lo que el lado izquierdo de $(2)$ es $$ \ge \int_0^{\frac1n}x^{1+\frac1n}dx=\frac1{2+\frac1n}\cdot\left(\frac1n\right)^{2+\frac1n}$$ y, por tanto, para casi todos los $n$ $$\tag{4}\sum_{k=1}^n \left(\frac k{n^2}\right)^{\frac k{n^2}+1}\ge \frac1{2+\frac1n}\sqrt[n]n.$$ Desde $\sqrt[n]n\to 1$ los límites en $(3)$ y $(4)$ ambos convergen a $\frac12$ por lo que finalmente $$\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n \left(\frac k{n^2}\right)^{\frac k{n^2}+1}=\frac12.$$