Problema de la tarjeta de Gardner

Question

El siguiente problema es de aha! La penetración por Martin Gardner.

En un sorteo de $n$ cartas de una baraja sin reemplazo, ¿cuál es la la probabilidad de que siete de las $n$ cartas, todas tienen el mismo palo?

Ha sido un tiempo desde que he hecho un cálculo de la probabilidad, así que estoy aquí para tener mi solución verificado.

Deje $X_n$ ser el evento al azar de dibujo en menos de siete cartas del mismo palo en el dibujo de $n$ tarjetas.

$$P(X_n) = \left\{ \begin{array}{ll} 0 & : n < 7\\ \dfrac{\binom{4}{1}\binom{13}{7}\binom{39}{n-7}}{\binom{52}{n}} & : 7 \le n < 25\\ 1 & : 25 \le n \end{array} \right. $$

EDIT: se cuenta el número de maneras de dibujar exactamente siete tarjetas con $n$ sorteos. Robert post da la respuesta deseada, pero me pregunto si hay una manera más simple expresión para la probabilidad dado únicamente en términos de $n$.

EDIT2: Comenzó recompensa buscando una solución en términos de $n$. También me gustaría aceptar una explicación de por qué Robert solución es tan simple como se pone.

Answer 1

Para cada cuatro-tupla $(c,d,h,s)$ de los números enteros no negativos con $c+d+h+s = n$ y $\max(c,d,h,s) \ge 6$, la probabilidad de obtener los $c$ clubes, $d$ diamantes, $h$ corazones y $s$ picas es $$ p(c,d,h,s) = \dfrac{{13 \choose c}{13 \choose d} {13 \choose h} {13 \choose s}}{{52 \choose n}}$$ A continuación, tienes que agregar esto a través de todos los $(c,d,h,s)$. Por ejemplo, si $n= 15$ la posible $(c,d,h,s)$ $$[2, 3, 3, 7], [2, 2, 4, 7], [1, 3, 4, 7], [0, 4, 4, 7], [1, 2, 5, 7], [0, 3, 5, 7], [1, 1, 6, 7], [0, 2, 6, 7], [0, 1, 7, 7], [2, 2, 3, 8], [1, 3, 3, 8], [1, 2, 4, 8], [0, 3, 4, 8], [1, 1, 5, 8], [0, 2, 5, 8], [0, 1, 6, 8], [0, 0, 7, 8], [2, 2, 2, 9], [1, 2, 3, 9], [0, 3, 3, 9], [1, 1, 4, 9], [0, 2, 4, 9], [0, 1, 5, 9], [0, 0, 6, 9], [1, 2, 2, 10], [1, 1, 3, 10], [0, 2, 3, 10], [0, 1, 4, 10], [0, 0, 5, 10], [1, 1, 2, 11], [0, 2, 2, 11], [0, 1, 3, 11], [0, 0, 4, 11], [1, 1, 1, 12], [0, 1, 2, 12], [0, 0, 3, 12], [0, 1, 1, 13], [0, 0, 2, 13], [0, 0, 1, 14], [0, 0, 0, 15] $$ y sus reordenamientos.

En Arce:

with(combinat):
for n from 7 to 24 do
  P:= map(`+`,select(t -> nops(t) = 4 and max(t) >= 8, partition(n+4)),
          [-1,-1,-1,-1]);
  prob:= add(mul(binomial(13,p[i]),i=1..4)
          *nops(permute(p))/binomial(52,n),p=P);
  printf("The probability for n = %d is %a, or approximately %4.5f\n",
         n, prob, evalf(prob));
od:

La probabilidad para n = 7 es 33/643195, o aproximadamente 0.00005

La probabilidad para n = 8 es 1166/3215975, o aproximadamente 0.00036

La probabilidad para n = 9 es 272/189175, o aproximadamente 0.00144

La probabilidad para n = 10 es 116534/27657385, o aproximadamente 0.00421

La probabilidad para n = 11 es 40148/3951055, o aproximadamente 0.01016

La probabilidad para n = 12 es 40654/1905803, o aproximadamente 0.02133

La probabilidad para n = 13 es 44677/1108025, o aproximadamente 0.04032

La probabilidad para n = 14 es 397745888/5669763925, o aproximadamente 0.07015

La probabilidad para n = 15 es 491355875/4309020583, o aproximadamente 0.11403

La probabilidad para n = 16 es 139443061606/797168807855, o aproximadamente 0.17492

La probabilidad para n = 17 es 11953182762/46892282815, o aproximadamente 0.25491

La probabilidad para n = 18 es 11865928058/33494487725, o aproximadamente 0.35427

La probabilidad para n = 19 es 14099080786/29968752175, o aproximadamente 0.47046

La probabilidad para n = 20 es 3579684638/5993750435, o aproximadamente 0.59724

La probabilidad para n = 21 es 60779104513/83912506090, o aproximadamente 0.72432

La probabilidad para n = 22 es 1090469390477/1300643844395, o aproximadamente 0.83841

La probabilidad para n = 23 es 261904914329/282748661825, o aproximadamente 0.92628

La probabilidad para n = 24 es 8032961212957/8199711192925, o aproximadamente 0.97966

Answer 2

Aquí es un código de Mathematica que devuelve los cálculos de Robert arriba:

Tabla [f [List_]: = binomial [13, lista [[1]]] binomial [13, lista [[2]]] binomial [13, lista [[3]]] binomial [13, lista [[4] ]] / binomial [52, n]; Total [Mapa [f, seleccione [Composiciones [n, 4], Max [#]> = 7 &]]], {n, 7, 25}]

Answer 3

Vamos a considerar un problema más sencillo con sólo dos trajes, decir picas y corazones. Supongamos que hay $S$ cartas de cada palo de la baraja, que usted elija $n$ tarjetas, y que desea saber la probabilidad de obtener los $k$ o más tarjetas de, al menos, un traje.

La probabilidad de obtener exactamente $k$ picas es $$ \frac{\binom{S}{k}\binom{S}{n-k}}{\binom{2}{n}}. $$ La probabilidad de contraer $k$ o más de espadas es $$ \sum_{j=k}^n\frac{\binom{S}{j}\binom{S}{n-j}}{\binom{2}{n}}. $$ La probabilidad de contraer $k$ o más tarjetas de, al menos, un traje puede ser obtenido usando el principio de inclusión-exclusión sumando la probabilidad de contraer $k$ o más espadas a la probabilidad de contraer $k$ o más de los corazones, y luego restar la probabilidad de contraer $k$ o más de ambos juegos. Este cálculo da $$ 2\sum_{j=k}^n\frac{\binom{S}{j}\binom{S}{n-j}}{\binom{2S}{n}}-\sum_{j=k}^{n-k}\frac{\binom{S}{j}\binom{S}{n-j}}{\binom{2S}{n}}. $$ No es fácil, la forma cerrada de estas sumas. Que puede ser expresada en términos de la función de distribución acumulativa de la distribución hipergeométrica. El artículo vinculado de la Wikipedia da la fórmula para la función de distribución acumulativa en términos de una ${}_3F_2$ función hipergeométrica generalizada, pero esto no es ninguna ayuda, ya que la función hipergeométrica generalizada se define a ser, precisamente, el tipo de suma de productos que supongo que usted está tratando de alejarse de.

Existe un algoritmo para determinar cuando sumas como estos tienen una forma cerrada, en virtud de la definición adecuada de "forma cerrada". Ver los artículos de Wikipedia en Gosper del algoritmo y Wilf–Zeilberger pares y las referencias de los artículos para obtener información acerca de esto. Yo no estoy en una posición en el momento de decirte lo que esta teoría tiene que decir acerca de las cantidades arriba mencionadas, pero, baste decir, que no hay forma cerrada.

Cuando se aumenta el número de trajes de a cuatro, las cosas se ponen más complicadas. El principio de inclusión-exclusión de los rendimientos de la fórmula $$ \begin{aligned} &4\sum_{h=k}^n\frac{\binom{S}{h}\binom{3S}{n-h}}{\binom{4S}{n}}-6\sum_{h=k}^n\sum_{i=k}^{n-h}\frac{\binom{S}{h}\binom{S}{i}\binom{2S}{n-h-i}}{\binom{4S}{n}}+4\sum_{h=k}^n\sum_{i=k}^{n-h}\sum_{j=k}^{n-h-i}\frac{\binom{S}{h}\binom{S}{i}\binom{S}{j}\binom{S}{n-h-i-j}}{\binom{4S}{n}}\\ &\qquad-\sum_{h=k}^n\sum_{i=k}^{n-h}\sum_{j=k}^{n-h-i-k}\frac{\binom{S}{h}\binom{S}{i}\binom{S}{j}\binom{S}{n-h-i-j}}{\binom{4S}{n}} \end{aligned} $$ para la probabilidad de $k$ o más tarjetas de, al menos, un traje. Sólo la primera de las sumas que en esta fórmula se puede expresar en términos de hipergeométrica generalizada funciones. No estoy seguro de si el Wilf-Zeilberger método puede ser extendido a varias sumas, pero, dadas las dificultades que se presentan incluso en las dos-traje caso, es casi seguro que no hay forma cerrada.