Integral relacionados con la función de Bessel modificada

Question

Me gustaría resolver la integral$$F_n(\kappa,\theta,\phi)=\int_{-\pi}^{\pi}{\rm e}^{\kappa\cos(x-\theta)}\cos(n\, x-\phi)\,{\rm d}x$ $ que parece estar relacionado con la identidad$$I_n(\kappa)=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}{\rm e}^{\kappa\cos(x)}\cos(n\, x)\,{\rm d}x,$ $ donde$I_n(\kappa)$ es la función de Bessel modificada de primera especie. ¿Algunas ideas?

Answer 1

Reducir al conocido integral

Suponga $n$ es un número entero no negativo. A continuación, el integrando es periódica con período de $2\pi$. Entonces: $$ F_n= \int_{-\pi}^\pi \exp\left( \kappa \cos(x-\theta) \right) \cos(n x - \phi) \mathrm{d}x = \int_{-\theta\pi}^{-\theta+\pi} \exp\left( \kappa \cos(x) \right) \cos(n x + n \theta \phi) \mathrm{d}x $$ El último integral, mediante la periodicidad puede ser reducido a piezas de $(-\pi, \pi)$ intervalo, que puede ser reorganizado, por lo que $$ \int_{-\pi}^\pi \exp\left( \kappa \cos(x-\theta) \right) \cos(n x - \phi) \mathrm{d}x = \int_{-\pi}^{+\pi} \exp\left( \kappa \cos(x) \right) \cos(n x + n \theta \phi) \mathrm{d}x $$ Denotar $\varphi = n\theta - \phi$, y el uso de $\cos(n x + \varphi) = \cos(n x) \cos(\varphi) - \sin(n x) \sin(\varphi)$ escribir: $$ \begin{eqnarray} F_n &=& \cos(\varphi) \int_{-\pi}^{\pi} \exp\left( \kappa \cos(x) \right) \cos(n x) \mathcal{d} x - \sin(\varphi) \int_{-\pi}^{\pi} \exp\left( \kappa \cos(x) \right) \sin(n x) \mathcal{d} x \\ &=& 2 \pi \cos(\varphi) I_n(\kappa) - \sin(\varphi) \cdot 0 \end{eqnarray} $$ La última integral es cero como parte integral de una función odd $\sin(n x) \exp(\kappa \cos(x))$ a través de una simétrica de dominio. Por lo tanto: $$ F_n(\kappa \theta, \theta) = 2 \pi \cos(n \theta \phi) I_n(\kappa) $$

Diferenciar bajo el signo integral

Alternativamente, se podría establecer que $F_n$ satisface la educación a distancia en $\kappa$. $$ \begin{eqnarray} \kappa^2 \partial_\kappa^2 F_n + \kappa \partial_\kappa F_n &=& \int_{-\pi}^\pi \exp(\kappa \cos(x-\theta)) \left(\kappa^2 \underbrace{\cos^2(x-\theta)}_{1-\sin^2(x-\theta)}+ \kappa \cos(x-\theta) \right) \cos(n x - \phi) \mathrm{d} x \\ &=& \kappa^2 F_n - \int_{-\pi}^\pi \left(\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}x^2} \exp(\kappa \cos(x-\theta)) \right) \cos(n x-\phi) \mathrm{d} x \\ &\stackrel{\text{by parts}}{=}& (\kappa^2 + n^2) F_n + \text{boundary terms} \end{eqnarray} $$ donde el término se desvanece, si $n$ es un número entero: $$\begin{eqnarray} \text{boundary terms} &=& - \left(\left. \left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \exp(\kappa \cos(x-\theta)) \right) \cos(n x-\phi) \right|_{x=-\pi}^{x=\pi} \right) \\ &\phantom{=}& - \left(\left. n \exp(\kappa \cos(x-\theta) ) \sin(n x-\phi) \right|_{x=-\pi}^{x=\pi} \right) \\ &=& 2 \sin(\pi n) \exp( -\kappa \cos(\theta) ) \left( n \cos(\phi) - \kappa \sin(\theta) \sin(\phi) \right) = 0 \end{eqnarray} $$ Por lo tanto $F_n$ satisface la ecuación diferencial de $I_n(\kappa)$: $$ \kappa^2 \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d} \kappa^2} F_n + \kappa \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \kappa} F_n - (\kappa^2 + n^2) F_n = 0 $$ Porque para $\kappa = 0$, $F_n$ es finito: $$ \a la izquierda.F_n \right|_{\kappa = 0} = \int_{-\pi}^\pi \cos(n x -\phi) \mathrm{d} x = 2 \cos(\phi) \frac{\sin(\pi n)}{n} = 2 \pi \cos(\phi) \delta_{n,0} $$ llegamos a la conclusión de que $$ F_n = g_n(\theta, \phi) I_n(\kappa) $$ Por lo tanto $g_{0}(\theta, \phi) = \cos(\phi)$. Uno puede asimismo establecer una ecuación diferencial ordinaria para $F_n$ como una función de la $\theta$: $$ \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d} \theta^2} F_n = \int_{-\pi}^\pi \left(\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}x^2} \exp(\kappa \cos(x-\theta)) \right) \cos(n x-\phi) \mathrm{d} x = -n^2 F_n $$ y trivialmente $$ \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d} \phi^2} F_n = - F_n $$ La combinación de estos, con las condiciones iniciales, llegamos al mismo resultado: $$ F_n(\kappa \theta, \phi) = 2\pi \cos\left(n \theta \phi\right) I_n\left( \kappa \right) $$