Puede $10^{2k+1}+ 1$ ser un cuadrado perfecto?

Question

Para los enteros Impares $n$ ¿podría demostrar que $10^n+1$ es no ¿un cuadrado perfecto?

Answer 1

Desde $10\equiv1\pmod3$ basta con observar que $1^n+1=2$ no es un residuo cuadrático módulo $3$ . (Ni siquiera necesitamos la suposición de que $n$ es impar).

Answer 2

Dirige la ecuación $10^n = (a-1)(a+1)$ a una contradicción. Por ejemplo, el factor primo $5$ sólo puede aparecer en uno de esos $2$ factores, por lo que tenemos $5^n \leq a+1$ Por lo tanto $(a-1)(a+1) \geq 5^n(5^n-2) > 10^n$ ¡contradicción!

Answer 3

En general, dejemos $a\in\mathbb{P}$ (números primos) y supongamos $a^n+1$ es un cuadrado perfecto para algunos $n\in\mathbb{N}\setminus\{1\}.$

Luego está $x\in\mathbb{N}$ tal que $x^2=a^n+1$ y por lo tanto $a^n=(x+1)(x-1).$ Entonces podemos escribir $a^p=x+1$ y $a^q=x-1$ para algunos enteros $p,q\in\mathbb{N}\cup\{0\}$ tal que $p+q=n$ y $p>q.$ Esto implica claramente $a^p-a^q=2.$

• Si $q=0,$ obtenemos $a=3$ y $p=1$ lo que implica $$3^1+1=2^2.$$
• Si $q\neq 0,$ obtenemos $a=2$ y $p=2, q=1$ lo que implica $$2^3+1=3^2.$$