Vamos a pensar en el cociente de la mitad superior del plano-por $SL_2(\mathbb Z)$. Sí, técnicamente es un orbifold y no un honesto-a-dios superficie de Riemann, pero que termina siendo irrelevante para esta discusión, y este ejemplo es agradable y el hormigón. Fundamental el dominio de $M = \mathbb H^2 / SL_2(\mathbb Z)$ es la vertical infinito tira de la foto de abajo:
![modular curve]()
La acción de
$$
P = \left(\begin{array}{cc}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} \right)\en SL_2(\mathbb Z)
$$
identifica los dos lados verticales. La acción de la $SL_2(\mathbb Z)$ también identifica a la derecha y a la izquierda mitades del segmento circular; aquí es donde la orbifold puntos vienen en. Por suerte, todos los que vamos a hablar acerca de que sucede en la parte alta en la mitad superior del plano -, lejos de cualquier orbifold puntos, por lo que podemos pretender que estamos en la más conocida de la configuración de superficies de Riemann. Desde los lados verticales son identificados bajo la acción de la $P$, la imagen de cualquier línea horizontal $y = c$ $c > 1$ desciende a un bucle en $M$; cualquiera de las dos bucles son de libre homotópica.
Recordemos que la métrica en la mitad superior del plano está dada por
$$
ds^2 = \frac{dx^2 + dy^2}{y^2};
$$
esto significa que a medida que se mueve en el plano, las distancias se hacen más pequeños y más pequeños. De hecho, la longitud del bucle $y = c$ es fácilmente visto a $1/c$, por lo que no hay límite inferior para longitudes de curvas en este homotopy clase. Por otra parte, este bucle es homotópica a una punción. Este es quizás más fácilmente considerando diferentes fundamental de dominio, con su cúspide punto en la recta real. Este es un ejemplo de la primera fenómeno, que se repite a lo que rodea pinchazos en hiperbólico las superficies se corta.
Recuerde que (gratis) homotopy clases de bucles corresponden (conjugacy clases de elementos en el grupo fundamental. En virtud de esta correspondencia, se identifica un bucle con la cubierta de la transformación que "se mueve a lo largo del bucle" en la universalización de la cobertura. En el caso de nuestra $y = c$ bucle, el deck correspondiente transformación, es nuestro viejo amigo $P$. Desde la traza de $P$$2$, es un elemento parabólico.
EDIT: En respuesta a la OP comentario, vamos a hablar sobre el caso general. Vamos a abordar la segunda cuestión en primer lugar. Por la clasificación de las isometrías en el plano hiperbólico, la parabólica, isometrías son caracterizados como aquellos cuya infimal traducción longitud es cero, pero para que este infimum que no se dio cuenta. (En la traducción-clasificación de longitud, elíptica isometrías son aquellos que han infimal traducción de longitud cero que se realiza, y isometrías hiperbólicas son aquellos con un valor distinto de cero infimal traducción de longitud). En virtud de la correspondencia entre homotopy clases de bucles y de la cubierta de transformaciones, podemos identificar un bucle con la cubierta de la transformación que se mueve el fundamental de la región que contiene el punto inicial de un ascensor de un bucle a la terminal de punto. En nuestro ejemplo anterior, la horizontal bucle de ascensores de un segmento cuyos extremos mentira en horizontal adyacente fundamentales de los dominios, por lo que nuestro mazo de transformación es $P$. A través de esta identificación, es inmediato que esas homotopy clases de bucles que se pueden hacer arbitrariamente corto son precisamente los correspondientes a parabólico de la cubierta de transformaciones.
Ahora vamos a pensar acerca de por qué los bucles que rodean una punción en una superficie hiperbólica siempre se puede hacer arbitrariamente corto. Decir que tenemos una superficie hiperbólica es decir que nuestra superficie es el cociente del plano hiperbólico por un discreto grupo de isometrías, de modo que podemos tomar fundamental de dominio para nuestra superficie. Esta será una geodésica polígono, posiblemente con algunos vértices en el límite en el infinito. Si nuestra superficie está perforada, luego en particular es noncompact, por lo que nuestro dominio es fundamental noncompact así. Esto obliga a que al menos uno de los vértices del ser en el infinito, y esto corresponde a un pinchazo. Ahora usted puede comprobar el uso de la métrica que el ancho del polígono cerca de una de estas cúspides va a cero, de modo que la longitud de una curva que rodea este punción debe ir a cero también.
