Parece que el siguiente.
Vamos a utilizar esta pregunta por Amathstudent y su respuesta por Brian M. Scott.
Hemos de probar que cada uno débil Hausdorff compacto generadas $T_1$ espacio $KC$. Dado que existe una débil Hausdorff compacto $T_1$ espacio, que no es $KC$ (ver el espacio $\Bbb Q^*\times\Bbb Q^*$ en la respuesta por Brian M. Scott), este espacio no es de forma compacta generado.
Por lo tanto, vamos a $X$ ser un débil Hausdorff compacto generadas $T_1$ espacio y $Y$ ser un subconjunto compacto de $X$. Pretendemos que $Y$ $k$- cerrado subconjunto de $X$. De hecho, vamos a $C$ ser un compacto Hausdorff espacio y $u: C\to X$ ser un mapa continuo. Desde el espacio de $X$ es débil Hausdorff, el conjunto $u(C)$ es cerrado en $X$. Un conjunto $u(C)\cap Y$ es compacto como un subespacio cerrado de un espacio compacto $Y$. Por el Lema 1, el espacio de $u(C)$ es de Hausdorff. Así que el conjunto $u(C)\cap Y$ es cerrado en el espacio de $u(C)$. Desde el set $u(C)$ es cerrado en $X$, la $u(C)\cap Y$ es cerrado en el espacio de $X$. Desde el mapa de $u$ es continuo, el conjunto de $u^{-1}(Y)= u^{-1}(Y\cap u(C))$ es cerrado en $C$.
Desde el espacio de $X$ es generado de forma compacta, el conjunto $Y$ es cerrado en $X$. Por lo tanto $X$ $KC$- espacio.
