Dado un anillo, ¿cuándo puedo encontrar un campo que lo extienda convirtiéndolo en un subring?

Question

Mi pregunta es la siguiente. Dado un anillo $A$ ¿Cuándo puedo encontrar un campo $B$ tal que $A$ es un subring de $B$ ?

Por supuesto, si $A$ no es un dominio esto es imposible porque habría dos elementos no triviales en $A$ (por lo que también estarían en $B$ ) con producto trivial.

Sin embargo, hay algunos ejemplos en los que se puede hacer. Por ejemplo, si empiezo con $\mathbb{Z}$ Puedo encontrar un campo que lo contenga como subring (por ejemplo $\mathbb{Q}$ ).

¿Es esto posible para cualquier anillo que sea un dominio? Si no es así, ¿hay alguna hipótesis suficiente para que esto se cumpla?

Gracias, señor.

Answer 1

Esto puede ser más general que lo que estabas buscando, pero qué más da. El teorema de incrustación más bonito que existe para los anillos en general dice más o menos lo siguiente

Para un anillo $R$ existe un anillo de división en el que $R_R$ se incrusta "densamente" si y sólo si $R$ es un derecho Ore dominio .

Todos los dominios conmutativos son dominios de Ore, por lo que esto caracteriza a los anillos que pueden incrustarse (densamente incluso) en un campo.

Desgraciadamente, en el caso no conmutativo, algunos dominios que no son Ore correctos aún pueden incrustarse en anillos de división, sólo que no "densamente". No conozco ningún resultado más general que explique qué tiene que satisfacer exactamente un dominio no conmutativo para ser un subring de un anillo de división. Así que es difícil decir cuáles pueden encajar en anillos de división.

De hecho, hay algunos dominios que no pueden incrustarse en anillos de división en absoluto . El principal contraejemplo se basa en encontrar un anillo monoide cuyo grupo multiplicativo no pueda ser un submonoide del grupo multiplicativo de un anillo de división.

Answer 2

Si el anillo $R$ es un dominio integral, entonces el campo de fracciones es lo que está buscando.

Imita la construcción de $\mathbb Q$ de $\mathbb Z$ . Los elementos del campo de fracciones son clases de equivalencia de pares $(r,s)$ donde $r\in R$ y $s\in R\setminus\{0\}$ (representando intuitivamente $\frac rs$ ), bajo la relación de equivalencia $$ (r_1,s_1)\sim (r_2,s_2) \iff r_1s_2 = r_2s_1 $$ y las operaciones aritméticas se toman de las reglas de la aritmética de fracciones: $$ (r_1,s_1)+(r_2,s_2) = (r_1s_2 + r_2s_1, s_1 s_2) \\ (r_1,s_1)\cdot (r_2,s_2) = (r_1 r_2, s_1 s_2) $$ Verificar que estas reglas concuerdan con la relación de equivalencia y que convierten el conjunto de clases de equivalencia en un campo es rutinario.

El campo de $0$ es la clase de equivalencia de $(0,1)$ ; $1$ es la clase de equivalencia de $(1,1)$ y, en general, el mapa $r\mapsto (r,1)$ es un homomorfismo inyectivo de anillo.

Answer 3

No, en general no se puede incrustar un anillo en un campo, aunque el anillo sea un dominio es decir, no tiene divisores nulos. Un ejemplo es el anillo de cuaterniones reales, que es un anillo de división no conmutativo. Por supuesto, si además de no tener divisores cero se requiere también conmutatividad para el anillo, es decir, requerir un dominio integral entonces siempre existe el campo de las fracciones.