"Problemas" matemáticos "interesantes" que son accesibles para todas las disciplinas?

Question

Se me ha pedido que haga una breve presentación sobre el uso de la creatividad en matemáticas. Sé que ya hay mucha literatura al respecto, pero estoy completamente atascado cuando se trata de la siguiente parte de la presentación:

¿Qué problemas matemáticos "interesantes" hay que todas (o algunas) las disciplinas pueden intentar resolver, con una solución que no esté completamente fuera de su alcance?

Con esto, no me refiero a problemas realmente simples que no enseñen nada al que resuelve el problema, ni quiero un problema que, en el fondo, consista en calcular algunos casos y tratar de ver un patrón. Habrá personas de otras disciplinas como derecho, historia, química, política, etc., pero sinceramente no se me ocurre un problema "interesante" en el que todos puedan involucrarse. El problema debería hacerles sentir que han interactuado con él (tengo la intención de llamar a personas para "hacer algo") utilizando habilidades de sus propias disciplinas.

Tengo la sensación de que algo geométrico/topológico sería lo más "interesante" y accesible (ya que todos pueden visualizar), pero es difícil encontrar algo en lo que incluso algunas de las disciplinas puedan participar.

Answer 1

Dale a las personas un círculo impreso. Pídeles que encuentren el centro solo usando un bolígrafo, una regla (sin medidas, por lo que podría ser una vara de madera recta) y una cuerda (que les permitirá trazar nuevos círculos junto con el bolígrafo). Y estarán resolviendo un problema geométrico solo usando técnicas griegas antiguas.

Answer 2

Aquí está uno. Dale a cada uno un pedazo de papel con una cuadrícula de unidades de $2 \times 2$ (es decir $4$ cuadrados de unidad) en el medio, y una regla. Pídeles que encuentren una manera de construir dos puntos que estén a $\frac15$ unidades de distancia entre sí. Hay infinitas soluciones, y puedes plantear el desafío para ver quién puede hacerlo con la menor cantidad de líneas. Solo se permite dibujar una línea a través de $2$ puntos de intersección previamente construidos (al principio hay $3 \times 3$ de ellos).

Este problema implica geometría básica y proporciones, pero nada más, por lo que sería accesible para todos. ¡Pero tendrás que ser creativo para encontrar una solución eficiente! Además, puedes pedir no solo $\frac15$ sino también, por ejemplo, $\frac1{7}$ o $\frac1{11}$. Esto prepara el escenario para que algunas personas automáticamente intenten encontrar un método de construcción general.

Answer 3

¿Puedes dibujar un triángulo equilátero en una cuadrícula cuadrada? (con los vértices del triángulo en los vértices de la cuadrícula...)

Answer 4

Aquí hay un problema que encontré durante una investigación. Ha sido "probado en el campo" en el sentido de que lo di a una clase de estudiantes universitarios no matemáticos (en su mayoría de arte y otras carreras "blandas"), ¡y les gustó muchísimo más de lo que pensé que les gustaría! Pensé que los acertijos "demasiado numéricos" no les interesarían, en general. Pero esto tiene un elemento similar a Sudoku, y las soluciones son bastante estéticamente agradables.

Les mostré esta versión muy fácil como preámbulo:

¿Puedes encontrar $3$ conjuntos de números de $\{1, 2, 3\}$, cada uno de tamaño $2$, y compartiendo $1$ número con cada otro conjunto?

Aquí la solución es fácil de encontrar, y única (se la mostré):

\begin{array}{ccc} 1 & 2 & \_\_ \\ 1 & \_\_ & 3 \\ \_\_ & 2 & 3 \end{array}

Pero el verdadero acertijo que les di es este:

¿Puedes encontrar $7$ conjuntos de números de $\{1,2,3,4,5,6,7\}$ tales que

• cada conjunto tenga tamaño $4$, y

• cada conjunto tenga $2$ números en común con cada uno de los otros conjuntos?

Casi todos lo resolvieron correctamente, pero muchos tenían soluciones diferentes. Los desafié a averiguar cuántas soluciones diferentes eran posibles, pero no hubo mucho interés en esta pregunta de seguimiento.

Un seguimiento adicional: hasta ahora, los parámetros han sido $(3, 2, 1)$ y $(7, 4, 2)$; probablemente puedas adivinar que el siguiente caso sería $(15, 8, 4)$. ¡No tenían ningún interés en el caso $(15, 8, 4)! Ah bueno, hay que tomar lo que se pueda obtener :)

Answer 5

No estoy seguro si la siguiente pregunta se ajusta a tus requerimientos, pero ciertamente es de interés para un gran número de personas, específicamente, los aficionados al fútbol y al tenis. Consulta este artículo para más detalles.

La pregunta es la siguiente: ¿cómo tener una tanda de penaltis justa en fútbol y un tie-break justo en tenis? La secuencia en fútbol es ABAB ABAB... donde A es el equipo que tira primero y B es el equipo que tira segundo. El problema es que el equipo A gana el 61% de las tandas de penaltis, en comparación con el 39% para el equipo B. La secuencia en tenis es ABBA ABBA..., la cual es un poco mejor, pero se puede mejorar.

En un artículo reciente [1], Ignacio Palacios-Huerta ha demostrado que la solución óptima se puede obtener utilizando la Secuencia de Prouhet-Thue-Morse, que comienza de la siguiente manera: ABBA BAAB BAAB ABBA ... ¿No es una aplicación inesperada de las matemáticas?

[1] Ignacio Palacios-Huerta, Torneos, equidad y la secuencia de Prouhet-Thue-Morse, Economic inquiry 50 (3) 848–849 (2012).