El enfoque estándar para mostrar $\int \sec \theta \, \mathrm d \theta = \ln |\sec \theta + \tan \theta| + C$ es multiplicar por $\frac{\sec \theta + \tan \theta}{\sec \theta + \tan \theta}$ y luego hacer una substitución con $u = \sec \theta + \tan \theta$. Me gusta el hecho de que este truco conduce a una derivación rápida y limpia, pero también me parece decepcionante: no es muy intuitivo, ni parece tener aplicabilidad a cualquier problema de integración diferente $\int \csc \theta \mathrm \,d \theta$. ¿Alguien sabe de otra manera para evaluar $\int \sec \theta \, \mathrm d \theta$?
Respuestas
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Otra forma es:
$$ \int \sec x dx = \int \frac{\cos x} {x 1-\sin^2} dx = \frac{1}{2} \int \left (\frac{1}{1-\sin x} + \frac{1}{1+\sin x} \right) \cos x dx $$ % $ de $$= \frac{1}{2} \log \left| \frac{1+\sin x}{1-\sin x} \right| + C.$
Cabe destacar que la respuesta puede aparecer en muchos disfraces. Otra es $$\log \left| \tan \left( \frac{\pi}{4} + \frac{x}{2} \right) \right| $ $
Alex Bolotov
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249
Una técnica útil es utilizar las fórmulas del ángulo mitad en términos de $\tan (\theta/2)$ para convertir funciones trigonométricas de (racionales) de funciones racionales.
Por ejemplo si $t = \tan(\theta/2)$ tenemos que $\sec \theta = \frac{1+t^2}{1-t^2}$
Tenemos $2\,\mathrm dt = (1 + \tan^2(\theta/2))\,\mathrm d\theta$
Y así
$$\int \sec \theta \,\mathrm d\theta = \int \frac{2\;\mathrm dt}{1-t^2}$$
Que fácilmente puede ser evaluado.
Del mismo modo obtenemos
$$\int \csc \theta \,\mathrm d\theta = \int \frac{\mathrm dt}{t}$$
utilizando $\csc \theta = \frac{1+t^2}{2t}$
Revisa esta página .
Jon Clegg
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661
Utilizando las definiciones de $$\sec \theta = 1/\cos \theta \quad \text{and} \quad \cos \theta = (\exp(i \theta) + \exp(-i \theta))/2$$ gives $$\int \sec \theta \, d \theta = \int \frac{2 \, d \theta}{\exp(i \theta) + \exp(-i \theta)}.$$ The only insight needed is to find the substitution $u # = \exp (\theta) $ (what else is there to try?), leading to a multiple of $\int \frac{du}{1+u^2}$, the inverse tangent. Thus, in an essentially mechanical fashion you obtain the generic solution $$-2 i \arctan(\exp(i \theta)).$$ Unwinding this via the usual algebraic identities between exponential and trig functions not only shows it is equal to the usual solutions, but also reveals why half angles might be involved and where an offset of $\pi 4$ podría provenir de (como en la respuesta @Derek Jennings): es una constante de integración, por supuesto.
Jeffrey Meyer
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1858
Aquí forma que un electricista soluciona el problema. Desde $\cos(x)=\sin(\frac{\pi}{2}+x)$ es más fácil considerar la integral % $ $$ I=\int \csc xdx = \int \dfrac1{\sin x}\mathrm dx$
Ahora: $$ \dfrac1{\sin x}\mathrm dx= \dfrac1{2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}}\mathrm dx=\dfrac1{2\tan\frac{x}{2}\cos^2\frac{x}{2}}\mathrm dx =\frac{\mathrm d\tan\frac{x}{2}}{\tan\frac{x}{2}}=\mathrm d \ln \left | \tan\frac{x}{2} \right | $ $
Así $$I=\ln \left | \tan\frac{x}{2}\right | +C$ $
Sustitución de $x$ $\frac{\pi}{2}+x$ da para la integral original:
$$\ln \left| \tan \left( \frac{\pi}{4} + \frac{x}{2} \right) \right|+C $$
Michael Hardy
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128804
Estos artículos existen:
http://en.wikipedia.org/wiki/Integral_of_the_secant_function
http://en.wikipedia.org/wiki/Weierstrass_substitution
V. Frederick Rickey y Philip M. Tuchinsky, Una Aplicación de la Geografía a las Matemáticas: Historia de la Integral de la Secante, las Matemáticas de la Revista, volumen 53, número 3, Mayo de 1980, páginas 162-166.
Rickey & Tuchinsky del artículo nos dice que la integral de la función secante era un bien conocido conjetura en el siglo 17, que Isaac Barrow resuelto el problema, y que la razón original para la concienciación de la pregunta vino de la cartografía.
