¿Para qué sirve la definición de un espacio de Hilbert?

Question

Entiendo que el espacio de Hilbert es un análogo de dimensión infinita del espacio euclidiano. Sin embargo, una cosa que he pensado durante un tiempo es por qué ciertos problemas definen una variable que vive dentro de un espacio de Hilbert.

En otras palabras, ¿por qué tenemos que definir formalmente un espacio vectorial antes de trabajar con determinados problemas? ¿Por qué no podemos hacer cálculos directamente sin tener que definirlo formalmente?

Me parece que muchas veces los problemas que involucran vectores se definirían como si vivieran en un espacio vectorial, como una formalidad, antes de que ocurra la matemática real. ¿Por qué tenemos que mencionar constantemente los espacios vectoriales?

Answer 1

El problema es que hay muchos análogos de espacios vectoriales infinitos, y no todos tienen buenas propiedades.

Considere $C^\infty(\mathbb R)$ el espacio de las funciones infinitamente diferenciables sobre $\mathbb R$ . Tenemos que si $f,g$ son funciones infinitamente diferenciables, entonces también lo es $f+g$ y para cualquier $\lambda\in\mathbb R$ tenemos que $\lambda f$ es también infinitamente diferenciable.

Así que, como no nos importa la naturaleza del espacio en el que estamos trabajando, vamos a hacer algunos cálculos, ¿verdad? ¿Cuál es el producto interior en este espacio? ¿Hay uno? ¿Hay incluso una norma en este espacio?

La respuesta a ambas resulta ser no, pero sin decir "Como $C^\infty(\mathbb R)$ es un espacio de Frechet", puede que tengas que hacer una cantidad de trabajo no trivial para demostrarlo. Si no haces el trabajo, puedes encontrarte con problemas como: $$\langle f,g\rangle = \int_{\mathbb R}f(x)\overline{g(x)}dx$$ siendo muy infinito para ciertos valores. Recordemos que los espacios de producto interno (que son los espacios de Hilbert) son un subconjunto de los espacios normados, como $|\cdot| = \sqrt{\langle\cdot,\cdot\rangle}$ siempre define una norma. Entonces, ¿podemos poner una norma en $C^\infty(\mathbb R)$ ? De nuevo, no (esta vez es de nuevo porque es un espacio de Frechet, los espacios de Banach tienen normas).

Por lo tanto, si no te aseguras de antemano de que estás en un buen espacio, puedes obtener resultados que realmente echen por tierra algunos de tus cálculos.

Además, los espacios de Hilbert tienen una propiedad llamada Principio mínimo. Si $H$ es un espacio de Hilbert, y $E$ es un subconjunto "bonito" del mismo (es decir, cerrado, convexo y no vacío), entonces $E$ tiene un elemento de norma mínima. Esto es no verdadero en un espacio de funciones genérico. Famosamente, mientras trabajaba en EDP Riemann asumió que esto era cierto en un espacio no-Hilbert, hasta que fue demostrado por Weierstrauss un contraejemplo (ver esto historia sección).

Así que decimos que trabajamos en el espacio de Hilbert porque no todos los espacios son iguales, y cuando queremos que tengan ciertas propiedades agradables tenemos que especificar que estamos asumiendo eso.

Answer 2

Se pueden hacer cálculos sin definir el espacio vectorial y sin tener que lidiar con el producto interno. Sin embargo, la noción de completa espacio es indispensable para la teoría general, al igual que lo es completar los números racionales para obtener los números reales.

El concepto de espacio completo entra en juego cuando se empiezan a realizar procesos iterativos para resolver una ecuación. No tener un límite al que converja la secuencia es un obstáculo. Y muchos teoremas concisos de los espacios completos son falsos en los espacios incompletos. Este es posiblemente el concepto más importante de las matemáticas del siglo XIX. Antes de eso nadie había conseguido dar una definición consistente de un número real, y la gente lo había intentado sin éxito durante más de dos mil años . Las ecuaciones simples tienen soluciones utilizando números reales que no tienen soluciones sobre los racionales; por lo que esto es fundamental. A principios del siglo XIX, Cauchy se fijó en las secuencias de números racionales que "convergen en sí mismas" (que ahora llamamos secuencias de Cauchy,) y no sabía qué hacer con tales secuencias. A Cauchy le desconcertaban estas cosas. A finales del siglo XIX, Cantor presentó los axiomas para basar las matemáticas en los conjuntos, y utilizó las secuencias de Cauchy para definir un número real. Esto revolucionó las Matemáticas, ya que inauguró la era del rigor en este campo, y permitió a los matemáticos definir un número real por primera vez, de una manera que se extendió de forma muy general a otros tipos de entornos, como los espacios de producto interior y los espacios normados.

La construcción de Cantor utilizada para definir un número real podía extenderse fácilmente a los espacios vectoriales a través de una métrica como una norma, y esto pronto condujo a la noción de un espacio de Hilbert. Las secuencias de funciones ortogonales obtenidas al resolver ecuaciones de Matemática-Física podían ahora tener límites de forma abstracta, y no sólo converger sobre sí mismas, sin algo a lo que converger. Los principios establecidos mucho antes para resolver problemas relacionados con el laplaciano, como el principio de Dirichlet, podían ahora dar soluciones reales en un contexto muy general. Los esquemas iterativos producían secuencias que tenían algo a lo que converger. Por supuesto, los objetos que se consideraban soluciones debían ser objetos no clásicos en un espacio de Hilbert o de Banach. Esto condujo a resultados de existencia general para ecuaciones de Matemática-Física por primera vez. Y nos permitió pensar en espacios en los que los puntos podían ser objetos complicados, como las funciones, y definir la distancia y la cercanía topológica para tales puntos. La Matemática moderna quedaría coja sin esa abstracción.

La pregunta que le planteo es la siguiente: ¿Estarías dispuesto a vivir sin números reales al tratar el Cálculo? Ciertamente podrías tratar las soluciones como si fueran secuencias de Cauchy, pero sospecho que te cansarías de esa restricción muy rápidamente, si no pudieras trabajar con una solución como un único punto en un espacio. Todavía te queda resolver las ecuaciones numéricamente a través de la iteración, pero la noción de que hay una solución abstracta a través de la iteración es algo que requiere que te muevas a la terminación, donde existen técnicas topológicas que no existen para los espacios incompletos. Tratar con racionales en contraposición a los números reales ya sería bastante malo, pero los problemas de tratar con el producto interno incompleto y los espacios normados serían peores en un orden de magnitud, dejando la teoría general de la resolución de ecuaciones muy incompleta. Evitar la abstracción y centrarse sólo en la computación podría dejarnos sin las herramientas topológicas del análisis, de importancia crítica.

Los espacios vectoriales abstractos con una topología son la evolución natural de los esfuerzos de los matemáticos por resolver las ecuaciones de las matemáticas/físicas. La linealidad abstracta surgió del principio de superposición. La norma, la distancia y la topología fueron abstracciones que surgieron del proceso de solución. Los cálculos sin estas abstracciones son inadecuados para el trabajo de resolver ecuaciones porque, sin ellas, la existencia es esquiva, y nos lleva hacia atrás en el tiempo, donde la noción de un número real seguía siendo horriblemente confusa, y donde el proceso de encontrar soluciones de ecuaciones diferenciales importantes era incomprensible.