¿Supongamos que $${a_n^{s_n} + b_n^{s_n} =1}$$ $$\lim_{n \to \infty} a_n = a >0$$ $$\lim_{n \to \infty} b_n = b >0$$ and $${a^s + b^s =1}$$ where $ a + b < 1$. Then how can we prove that $\displaystyle\lim_{n \to \infty} s_n = $ s?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Did
Puntos
1
La primaria la prueba se basa en el siguiente no tan habitual manera de expresar la convergencia a cualquier positiva límite no es igual a $1$.
Consideremos por ejemplo el hecho de que $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=a$. Desde $a\gt0$, $b\gt0$ y $a+b\lt1$, uno sabe que $0\lt a\lt1$, por lo tanto la función de $\alpha:x\mapsto\log(x)/\log(a)$ es continua y decreciente en $x\gt0$. En particular, el hecho de que $\lim\limits_{n\to\infty}\alpha(a_n)=\alpha(a)=1$ implica que, para cada $0\lt\varepsilon\lt1$, existe alguna finito $n_\varepsilon$ tal que, para cada $n\geqslant n_\varepsilon$, $1-\varepsilon\leqslant\alpha(a_n)\leqslant1+\varepsilon$, es decir, $a^{1+\varepsilon}\leqslant a_n\leqslant a^{1-\varepsilon}$.
Del mismo modo, uno puede, y vamos, suponga que $b^{1+\varepsilon}\leqslant b_n\leqslant b^{1-\varepsilon}$ por cada $n\geqslant n_\varepsilon$. Desde $a_n^{s_n}+b_n^{s_n}=1$ por cada $n$, se obtiene, para cada $n\geqslant n_\varepsilon$, $$ a^{(1+\varepsilon)s_n}+b^{(1+\varepsilon)s_n}\leqslant1\leqslant a^{(1-\varepsilon)s_n}+b^{(1-\varepsilon)s_n}. $$ Desde $a^s+b^s=1$ y la función de $r\mapsto a^r+b^r$ está disminuyendo, $(1-\varepsilon)s_n\leqslant s\leqslant(1+\varepsilon)s_n$ por cada $n\geqslant n_\varepsilon$, $\frac{s}{1+\varepsilon}\leqslant s_n\leqslant\frac{s}{1-\varepsilon}$. Finalmente, $\lim\limits_{n\to\infty}s_n=s$.
CodingBytes
Puntos
102
Considerar la función $$f(x,y,t):=x^t+y^t-1\quad(0<x<1,\ 0<y<1,\ t\in{\mathbb R})\ .$ $ % Asunción $(a,b,s)\in{\rm dom}(f)$y $f(a,b,s)=0$. Además de la ${\partial f\over\partial t}=\log x\ x^t+\log y\ y^t$, donde $$\left.{\partial f\over\partial t}\right|_{(a,b,s)}=\log a\ a^s+\log b\ b^s<0\ .$ $ se deduce por el teorema de la función implícita que hay un abierto caja centro $W=U\times V\subset{\mathbb R}^3$ $(a,b,s)$ y un $C^1$-función de $$\psi:\quad U\to V,\quad (x,y)\to t=\psi(x,y)\ ,$%% $ de f(x,y,t)=0$ such that within this box the equation $t=\psi(x,y) de $ is equivalent to $.
Volviendo a la pregunta original ahora tenemos $$\lim_{n\to\infty} s_n=\lim_{n\to\infty} \psi(a_n,b_n)=\psi(a,b)=s\ .$ $
Aquí le damos un enfoque más sistemático.
Si $\lim_{n\to\infty}s_n\ne s$, entonces sea $\limsup_n s_n>s$ o $\liminf_n s_n<s$.
Si $\limsup_n s_n>s$, suponemos (por si es necesario, pasar a un subsequence) que hay un $u>s$ tal que $s_n\ge u$ y $1>a_n,b_n>0$ % todos $n$. Entonces todos $n$ tenemos $a_n^{s_n}+b_n^{s_n}\le a_n^u+b_n^u$, así
$$1=\lim_{n\to\infty}(a_n^{s_n}+b_n^{s_n})\le\lim_{n\to\infty}(a_n^u+b_n^u)=a^u+b^u<1\;,$$
que es absurdo.
Del mismo modo, si $\liminf_n s_n<s$, suponemos que hay un $u<s$ tal que $s_n\le u$ y $a_n,b_n>0$ % todo $n$y entonces tenemos
$$1=\lim_{n\to\infty}(a_n^{s_n}+b_n^{s_n})\ge\lim_{n\to\infty}(a_n^u+b_n^u)=a^u+b^u>1\;,$$
otra vez que es absurdo. Así, $\lim_{n\to\infty}s_n=s$.
