Cómo probar $\lim_{n \to \infty}\frac{\pi}{2n+1}\sum_{k=1}^{n}(-1)^{k+1}\cot\frac{k\pi}{2n+1}=\ln2$

Question

Estoy tratando de probar lo siguiente:

$$\lim_{n \to \infty}\frac{\pi}{2n+1}\sum_{k=1}^{n}(-1)^{k+1}\cot\frac{k\pi}{2n+1}=\ln2$$

He probado algunos valores y parece convincente.

Me pregunto si esto es un resultado nuevo. ¿Si no, cualquier referencia o artículo relacionado y lectura material? Gracias de antemano.

He tratado de enlazar a la siguiente, pero.

$$\lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n}f\left(\frac{k}{n}\right)=\int_0^1 f(x) dx$$

DESPUÉS DE LA SOLUCIÓN OBTENIDA, EL SIGUIENTE PUEDE PROBARSE ASÍ.

$$\lim_{n \to \infty}\frac{\pi}{2n}\sum_{k=1}^{n-1}(-1)^{k+1}\cot\frac{k\pi}{2n}=\ln2$$

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Answer 1

Creo que solo usamos $$\cot{x}=\dfrac{1}{x}+o(1/x),x\to 0$ $ % que $$\cot{\dfrac{k\pi}{2n+1}}\approx \dfrac{2n+1}{k\pi},n\to \infty$$ % que $$\lim_{n\to\infty}\dfrac{\pi}{2n+1}\sum_{k=1}^{n}(-1)^{k+1}\cot{\left(\dfrac{k\pi}{2n+1}\right)}=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}(-1)^{k+1}\dfrac{1}{k}$$ y Nota $$\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1}\dfrac{1}{k}=\ln{(1+x)}|_{x=1}= \ln{2}$ $