Todas las distancias son racionales el conjunto es contable

Question

Pregunta:

Suponga $E$ es un subconjunto de a $R^n$, e $x,y\in E\Rightarrow d(x,y)\in \mathbb Q$, muestran que $E$ es en la mayoría de los contables. ($d$ es la distancia Euclidiana)

Creo que he resuelto el $n=2$ de los casos, lo que fue 2013 análisis real examen de calificación problema en la UCI. Para general $n$ se señaló en el examen que la afirmación es verdadera, sin pedir una prueba. Me pregunto si alguien puede dar una solución más general porque mi solución para $n=2$ es difícil de extender a cualquier $n$.

Mi solución para $n=2$:

Si $E=\emptyset$ hemos terminado. Si no, tome $x\in E$, por la suposición de $E\subset \underset{q\geq0,q\in Q}{\cup}\partial B(x,q)$ donde $\partial B(x,q)=\{y\in R^2\mid d(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}=q\}$. Porque contables de la unión de conjuntos contables es contable, y $Q$ es contable, es suficiente para demostrar $C_q=E\cap \partial B(x,q)$ es contable para cada una de las $q$.

Para cualquier $q$ si $C_q=\emptyset$ hemos terminado. Si no, vamos a $p_1\in C_q$ si $p_2\in C_q$, podemos definir $\theta=\angle p_2xp_1$, $d(p_1,p_2)=2q\sin{\frac{\theta}{2}}\in Q\Rightarrow \sin{\frac{\theta}{2}}\in Q$. Por lo tanto, es suficiente para demostrar en la mayoría de los countably muchos $\theta$ satisface $\sin{\frac{\theta}{2}}\in Q$.

Para probar la última instrucción, para todas las $s\in Q$ El conjunto solución de a $\sin{\frac{\theta}{2}}= s$ $\emptyset$ (al $|s|>1$) o $\{\theta\mid \theta=2\arcsin{s}+4n\pi\}\cup \{\theta\mid \theta=2\pi-2\arcsin{s}+4n\pi\}$ donde $n\in Z$. El conjunto solución es claramente contables, debido a que $Q$ es contable, el conjunto solución de a $\sin{\frac{\theta}{2}}\in Q$ contables de la unión de contables conjunto, por lo tanto contables.

Answer 1

Usted puede hacer la inducción en $n$. Si $n=1$, es fácil. Supongamos que la siguiente declaración de $S(n)$ es cierto:

Si $E\subset \mathbb R^n$ satisface $d(x, y) \in \mathbb Q$ todos los $x, y\in E$, $E$ es contable.

Ahora vamos a $E \subset \mathbb R^{n+1}$, de modo que $d(x, y) \in \mathbb Q$ todos los $x, y\in E$. Se supone que es incontable. Entonces, ¿te gusta lo que hice, no es$x\in E$$r\in \mathbb Q$, de modo que $E_r = E \cap \partial B(x, r)$ es incontable. Deje $y\in E_r$. Entonces, de nuevo, no es$p \in \mathbb Q$, de modo que

$$E_{r, q} = E_r \cap \partial B(y, p)$$

es incontable. Sin embargo, esta $E_{r, p}$ se encuentra en una intersección de dos esferas en $\mathbb R^{n+1}$, por lo tanto se encuentra en un hyperplane de $\mathbb R^{n+1}$. Pero por hipótesis de inducción $E_{r, p}$ tiene que ser contable. Esta contradicción fuerzas que $E$ es contable.

Así, la inducción se realiza y $S(n)$ es cierto para todos los $n$.