¿Cómo integrar $\displaystyle 1-e^{-1/x^2}$?

Question

¿Cómo integrar $\displaystyle 1-e^{-1/x^2}$?

como sugerencia se da: $\displaystyle\int_{\mathbb R}e^{-x^2/2}=\sqrt{2\pi}$

Si sustituyen $u=\dfrac{1}{x}$, no trae nada:

$\,\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{\infty}\left(1-e^{-1/x^2}\right)dx=\int\limits_{-\infty}^{0}\left(1-e^{-1/x^2}\right)dx+\int\limits_{0}^{\infty}\left(1-e^{-1/x^2}\right)dx\overset{?}=2\int\limits_{0}^{\infty}\left(1-\frac{e^{-u^2}}{-u^2}\right)du$

$2\displaystyle\int\limits_{0}^{\infty}\left(1-\frac{e^{-u^2}}{-u^2}\right)du=?$

¿Cómo continuar?

$\textbf{The original exercise was}$:

Si una probabilidad tiene una densidad $f(x)=C(1-e^{-1/x^2})$ entonces determinar el valor de la constante $C$

Desde $\displaystyle\int f\overset{!}=1$, pensé primero para calcular la expresión anterior.

($\textbf{ATTENTION:}$ Pregunta editado de $e^{-1/x^2}$ a la integración de $1-e^{-1/x^2}$) de integración

Answer 1

En primer lugar integrar por parte y entonces el substituto $x$ $1/y$. $$\begin{align} \int_0^\infty (1-e^{-1/x^2})dx &= \left[(1-e^{-1/x^2})x\right]_0^\infty - \int_0^\infty x \left(-\frac{2}{x^3}\right) e^{-1/x^2} dx\\ &= 2\int_0^\infty e^{-y^2} dy = \sqrt{\pi} \end {Alinee el}$$

Answer 2

Aquí es otra técnica de la introducción de un parámetro. En efecto, consideremos la integral

$$I(s) = \int_{-\infty}^{\infty} (1 - e^{-s/x^{2}}) \, dx$$

en su lugar. Entonces queremos encontrar el valor de la si $I(1)$. Para ello, calculamos $I'(s)$ y apelar al Teorema Fundamental del Cálculo.

Nos simplifica $I(s)$ mediante cambio de variable. Deje $u = 1/x$. A continuación, por simetría,

$$I(s) = 2\int_{0}^{\infty} (1 - e^{-s/x^{2}}) \, dx = 2\int_{0}^{\infty} \frac{1 - e^{-su^{2}}}{u^{2}} \, du.$$

A continuación, podemos diferenciar ambos lados con respecto a $s$. La explotación de Leibniz integral de la regla de los rendimientos

$$I'(s) = 2\int_{0}^{\infty} \frac{\partial}{\partial s} \frac{1 - e^{-su^{2}}}{u^{2}} \, du = 2\int_{0}^{\infty} e^{-su^{2}} \, du.$$

Ahora, con la sustitución adicional $v = \sqrt{2s}u$ (donde $s > 0$), tenemos

$$I'(s) = \sqrt{\frac{2}{s}} \int_{0}^{\infty} e^{-v^{2}/2} \, dv = \frac{1}{\sqrt{2s}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-v^{2}/2} \, dv = \sqrt{\frac{\pi}{s}}.$$

Pero es trivial que se $I(0) = 0$ (ya que el integrando se desvanece de forma idéntica). Por lo tanto, por el Teorema Fundamental del Cálculo,

$$I(1) = I(0) + \int_{0}^{1} I'(s) \, ds = \int_{0}^{1} \sqrt{\frac{\pi}{s}} \, ds = \left. 2\sqrt{\pi s} \vphantom{\int} \right|_{0}^{1} = 2\sqrt{\pi}.$$

Answer 3

Sugerencia: ¿Qué es $\lim_{x\rightarrow \infty}e^{{-1}/{x^2}}$?

Answer 4

$\int\left(1-e^{-\frac{1}{x^2}}\right)dx$

$=\int\left(1-\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{(-1)^nx^{-2n}}{n!}\right)dx$

$=\int-\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{(-1)^nx^{-2n}}{n!}dx$

$=-\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{(-1)^nx^{1-2n}}{n!(1-2n)}+c$

$=\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{(-1)^n}{n!(2n-1)x^{2n-1}}+c$

$\because\int_{-\infty}^\infty\left(1-e^{-\frac{1}{x^2}}\right)dx$

$=\int_{-\infty}^0\left(1-e^{-\frac{1}{x^2}}\right)dx+\int_0^\infty\left(1-e^{-\frac{1}{x^2}}\right)dx$

$=\int_\infty^0\left(1-e^{-\frac{1}{(-x)^2}}\right)d(-x)+\int_0^\infty\left(1-e^{-\frac{1}{x^2}}\right)dx$

$=\int_0^\infty\left(1-e^{-\frac{1}{x^2}}\right)dx+\int_0^\infty\left(1-e^{-\frac{1}{x^2}}\right)dx$

$=2\int_0^\infty\left(1-e^{-\frac{1}{x^2}}\right)dx$

$=2\int_\infty^0\left(1-e^{-x^2}\right)d\left(\dfrac{1}{x}\right)$

$=2\left[\dfrac{1-e^{-x^2}}{x}\right]_\infty^0-2\int_\infty^0\dfrac{1}{x}d\left(1-e^{-x^2}\right)$

$=4\int_0^\infty e^{-x^2}~dx$

$=2\sqrt\pi$

$\therefore C=\dfrac{1}{2\sqrt\pi}$

Answer 5

$$\int_{-\infty}^\infty \exp(-1/x^2)dx$$ diverges, because $\Exp integral (-1/x ^ 2) \ge \frac 1e$ whenever $| x | > 1$ y por lo tanto $$\int_{-\infty}^\infty \exp(-1/x^2)dx> 2\int_1^\infty \frac{dx}{e}=+\infty.