El argumento habitual veo para demostrar que, suponiendo que S es un conjunto, $S\not\in S$ (en ZFC) es la siguiente:
Tome $S$. Suponga $S$ es un conjunto de ZFC. Definir $T=\{S\}$ ; por el axioma de emparejamiento, $T$ es un conjunto. Por lo tanto satisface el axioma de regularidad, es decir, $$\exists X\in T((\forall x\in X(x\not\in T))\land (\forall t\in T(t\not\in X))$$ Debido a que el único elemento de $T$$S$, $$\forall s\in S(s\not\in T)\land S \not\in S $$
Pero, es el caso de que $\{S\}\not\in S$ ?
Yo lo ideal deseo de mostrar el uso de sólo el axioma de regularidad y el axioma de emparejamiento (como se hizo anteriormente) que si $S$ es un conjunto, $\{S\}\not\in S$. (Si esto no es posible, utilizando sólo estos 2 axiomas, el uso completo de ZFC estaría bien también.)
Porque yo soy la suspensión de axioma esquema de especificación, puedo forman el conjunto $S=\{S\}$ o $S=\{\{S\}\}$ (etc) y tratar de encontrar una contradicción. He tratado de aplicar el axioma de regularidad para diversos conjuntos de esta forma, pero no puedo llegar a mi resultado deseado.
Alguna idea sobre cómo podría hacer esto?
edit: Asaf, la respuesta es un buen método. Tal vez simplemente no estoy "en ese nivel", pero yo tenía que trabajar cada paso de manera explícita, así que voy a publicar esto aquí para cualquier persona que necesita de un paso-por-paso.
$X=\{S,\{S\}\}$ es un conjunto de axiom de emparejamiento.
Por el axioma de regularidad, $\exists x\in X((\forall y\in x(y\not\in X))\land(\forall z\in X(z\not\in x))$
Porque sólo hay 2 elementos de $X$, es satisfecho por cualquiera de las $S$ o $\{S\}$. Por lo tanto, al menos uno de los siguientes es verdadera:
(1) $\forall y\in S(y\not\in X)\land\forall z\in X(z\not\in S)$
o (2) $\forall y\in\{S\}(y\not\in X)\land\forall z\in X(z\not\in\{S\})$
$S\in X,S\in\{S\}$, de modo que (2) es falsa, por lo tanto (1) debe ser verdadera. Por lo tanto $\forall z\in X(z\not\in S)$
$\{S\}\in X\implies \{S\}\not\in S$. QED
Esto también puede ser extendido mediante la toma de $X=\{S,\{S\},\{\{S\}\},\ldots\}$ que $S\not\in S, \{S\}\not\in S,\{\{S\}\}\not\in S,\ldots$
