problema de falacia matemática: $-1= (-1)^3 = (-1)^{6/2} = \sqrt{(-1)^6}= 1$ ?

Question

Sé que hay algo que no funciona, pero no sé dónde. Es una especie de falacia matemática y me está volviendo loco. Aquí está: $$-1= (-1)^3 = (-1)^{6/2} = \sqrt{(-1)^6}= 1?$$

Answer 1

La "regla" $(a^b)^c = a^{bc}$ no necesariamente se mantiene cuando $a < 0$ .

Answer 2

$x^2=y$ no implica $x=\sqrt y$ . De hecho, ambos $+\sqrt y$ y $-\sqrt y$ ambos satisfacen $x^2=y$ .

Así que $(-1)^6=1$ no implica $(-1)^3=\sqrt1=1$

Answer 3

Hay una versión más sencilla de esta falacia: $-1 = (-1)^{2/2} = \sqrt{(-1)^2} = \sqrt{1} = 1$ . El error proviene del hecho de que la función $f(x)=x^2$ no es invertible por lo que no se puede concluir que para cualquier número real $x$ es el caso que $x = \sqrt{x^2}$ .

Hay una versión del mismo error que utiliza el hecho de que $log$ no es invertible en $\mathbb{C}$ para demostrar que todos los números son iguales a 1:

$x = e^{\ln(x)} = e^{\ln(x) * (2\pi i) / (2\pi i)} = (e^{2\pi i})^{\ln(x)/2\pi i} = (\cos(2\pi)+i \sin(2\pi))^{\ln(x) / 2\pi i} = 1^{\ln(x) / 2\pi i} = 1$

Answer 4

Lo que está mal aquí es asumir que $\sqrt{x^2} = x$ cuando el hecho es $\sqrt{x^2} = |x|$ . Dejemos que $x=−1$ y utilizar $\sqrt{x^2} = |x|$ en el problema anterior, deberías llegar a una ecuación válida.

Answer 5

Como otros dicen la raíz cuadrada puede tener dos valores. Sin embargo, la utilizas como una función, por lo que es de un solo valor. Realmente depende de tu definición de funciones usadas. Yo creo que $(-1)^{6/2} = -1$ pero $\sqrt{(-1)^6} = ((-1)^6)^{1/2} = 1$ . Así que @mrf tiene razón en que $(a^b)^c ≠ a^{bc}$ en general y la tercera igualdad de tu ecuación es la que no se cumple.