Definiciones que deben ser teoremas de proposiciones

Question

Estoy pidiendo una lista de conceptos que algunas fuentes presentes como las definiciones, mientras que otras fuentes plantean como propuestas/teoremas.

Por ejemplo, la mayoría de álgebra abstracta, los libros se definen un grupo de isomorfismo para ser un bijective grupo homomorphism. Sin embargo, después de que se introdujo a la categoría de teoría, uno se da cuenta de que es un siempre tan ligeramente no-trivial resultado que isomorphisms en Prfv son precisamente los bijective grupo homomorphisms.

Otro ejemplo es el de un $C^k$ variedad diferenciable. Es un teorema que cada atlas maximal de a $C^k$ variedad diferenciable ($k>0$) contiene un $C^\infty$ atlas. Y así, los matices en los términos '$C^k$ variedad diferenciable' y 'smooth colector de' no son discutidos en algunas fuentes.

El ejemplo final voy a señalar es analítica vs holomorphic funciones complejas. He visto libros definir holomorphic funciones y, a continuación, decir 'analítica' es sólo un sinónimo. Mientras que yo creo que debería de ser un teorema que cada holomorphic función es analítica (donde analítica es, por supuesto, definida como 'representable por una convergente de alimentación de la serie).

El problema con estos ejemplos es que, sin la debida fondo, yo podría vivir mi vida felizmente ignorantes con el uso de estos términos como definiciones. Pero creo que esto también les roba a mí de ver a un hermoso resultado que se refiere a profundas sutilezas. Así que yo estoy pidiendo a la comunidad a compartir sus conocimientos de otros ejemplos que se han encontrado.

Answer 1

De un número finito de extensión de los campos de $k\subset K$ es de Galois si diagonalizes sí mismo: el $K$-álgebra $K\otimes_k K$ es isomorfo a la división $K$-álgebra $K\times...\times K$.
De un número finito de cubrimiento de espacios topológicos $X\to Y$ es normal si se trivializa la misma: la que cubre $X\times _Y X\to X$ es homeomórficos a la trivial cubriendo $X\sqcup...\sqcup X\to X $.

Estas impresionantemente similares que no son definiciones estándar son debido a Grothendieck, quien presentó una fantástica teoría de revestimientos de generalizar (en espíritu al menos) dos.
Para más detalles, consulte la mayoría de este libro original (no traducidas, por desgracia).

Answer 2

Hay un montón de ejemplos. Pero desde entonces estoy en apuro, aquí es sólo uno:

Un homomorfismo de grupos debe definirse como un mapa que es compatible con la estructura de todo grupo, es decir, multiplicación, inversa y elemento neutro. Entonces es un lema entonces basta para demostrarlo para la multiplicación. Tenga en cuenta que no tenemos tales homomorphisms de lema monoid (o anillo), nosotros no regalamos el elemento neutral.

Answer 3

Creo que la mayoría de las introducciones de los determinantes están escritos en un muy engañoso camino-definir el determinante de la utilización de una fórmula o algoritmo, luego, gradualmente, demostrar que tiene diversas propiedades atractivas. Esto hace que parezca como si los hechos como $\operatorname{det}AB=(\operatorname{det}A)(\operatorname{det}B)$, $\operatorname{det}A=\operatorname{det}A^T$, o "$\operatorname{det}$ es lineal en cada fila" son triviales, y hace que la definición parece desmotivado.

Realmente, uno de los principales trivial teorema acerca de los factores determinantes es que existen-que es, existe alguna función en el conjunto de la $n\times n$ matrices que es lineal en cada fila, se desvanece cuando dos filas son iguales, devuelve $1$ para la matriz de identidad, etc. Los diversos "definiciones" de los determinantes son fáciles de entender como consecuencias de estas propiedades, pero, de manera pedagógica, que debe aparecer después de esas propiedades se introducen, no antes.

Para ilustrar este ejemplo, considere el factor determinante cuando se limita a la permutación de matrices, que es el signo de la función en permutaciones, $\epsilon: S_n \to \{\pm 1\}$ (y ya que me gusta suscitando polémicas, yo también voy a mencionar que $\epsilon$ es el factor determinante en el conjunto de la $n\times n$ matrices sobre el campo de $\mathbb{F}_1$).

No es evidente a partir de las definiciones que el signo de una permutación existe, es decir, que cada $S_n$ ($n\geq 2$) tiene un subgrupo normal de índice $2$. No estoy diciendo que es una difícil teorema, pero definitivamente hay algo que hay que probar, a saber: si un producto de $k$ transposiciones es igual a un producto de $l$ transposiciones, a continuación, $k$ $l$ tienen la misma paridad. Técnicamente se puede definir $\epsilon(\sigma)$ $(-1)^{q_\sigma}$ donde $q_\sigma$ es el número de pares de $\{1,2,\ldots,n\}$ que están fuera de orden, a continuación, utilizar sus propiedades para demostrar que $\epsilon$ es un homomorphism... pero en mi opinión, esta definición sólo es motivado en el intento de demostrar que no existe un homomorphism $\epsilon$ con determinadas propiedades.

(Por el contrario, algo así como la existencia de "el" producto tensor o "la" algebraica de cierre suele ser manejado correctamente, en mi experiencia-damos las definiciones de decir cuáles son las propiedades que queremos que estas cosas se tienen, entonces sólo dar formas concretas para ellos cuando tenemos que demostrar que existen.)