¿Qué producto cruzado para la orientación deseada de una esfera? [Stewart P1091 16.7.23]

Question

P1086: Para una superficie cerrada, la orientación positiva es aquella para la cual los vectores normales apuntan hacia afuera de la superficie, y las normales que apuntan hacia adentro dan la orientación negativa.

P1087: Si $S$ es una superficie suave orientable dada en forma paramétrica por una función vectorial $\mathbf{r}(u,v)$ , entonces se suministra automáticamente con la orientación de la unidad normal $\mathbf{n} = \cfrac{\partial_u\mathbf{r} \times \partial_v\mathbf{r}}{\vert \partial_u\mathbf{r} \times \partial_v \mathbf{r} \vert} $ ...

P1093: La orientación de una superficie S induce la orientación positiva de la curva límite C mostrada en la figura. Esto significa que si uno camina en la dirección positiva alrededor de la curva con la cabeza apuntando en la dirección de $\mathbf{n}$ Entonces la superficie está siempre a la izquierda.

¿Cómo se puede determinar si $\partial_{\huge{u}}\mathbf{r} \times \partial_{\huge{v}}\mathbf{r} \quad \text{ or } \quad \partial_{\huge{v}}\mathbf{r} \times \partial_{\huge{u}}\mathbf{r} \quad $ (negativos entre sí) coincide con la orientación deseada?

Dado que una superficie puede ser difícil de dibujar (especialmente en condiciones de examen), esperaba un argumento que no fuera geométrico o visual. Pero si la geometría y la visualización son lo más fácil, ¿podría proporcionar imágenes para sus explicaciones?

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P1091 16.7. $23 \text{ generalised.}$ $\mathbf{F} = (x,-z,y)$ y $S$ es la parte de $x^2 + y^2 + z^2 = p$ en el primer octante y orientado hacia $(0,0,0)$ . Evaluar la integral de superficie $\iint_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S}$ . Para superficies cerradas, utilice la orientación positiva (hacia afuera).

Solución: Desde $S$ es una esfera, parametrice con $r(\theta, \phi) = (p\sin \theta \cos \theta, p \sin \theta \sin \theta, p \cos \phi)$ .
Entonces $\mathbf{F[r(\theta, \phi)]} \cdot \color{red}{(\partial_{\theta} r \times \ \partial_{\phi} r )} = p^3 \sin^3 \theta \cos^2 \theta \qquad ()$
Entonces $\iint_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \iint_D \mathbf{F} \cdot (\partial_{\theta} r \times \ \partial_{\phi} r ) \, dA = p^3\int^{2\pi}_0 \cos^2 \theta \, d\theta \int^{\pi/2}_9 \sin^3 \phi \, d\phi = ... = p^3 \quad \pi \quad 1/3.$ La respuesta se da como $ -p^\color{red}{2} \quad \pi \quad 1/3 $ .

¿Cómo se podría determinar que el producto cruzado en () coloreado en rojo es incorrecto?
y que debería haber sido $\color{green}{ \partial_{\large{\phi}} r \times \partial_{\large{\theta}} r }$ ?

Basado en la respuesta del usuario Dan:

Answer 1

No hay una respuesta fija a esto, porque sea cual sea la que elijas, si inviertes $u$ y $v$ Tendrías que elegir el otro. Depende de cómo sea el $u$ y $v$ Las coordenadas están orientadas en la superficie.

Sin embargo, " $\color{brown}{\text{if the positive $ u $ and $ v $ tangent vectors at a point are oriented such that,}}$ cuando se mira desde el exterior de la superficie en el punto, $\color{brown}{\text{the direction from $ u $ to $ v $ is counterclockwise, then $ \N - parcial u \N - parcial v $ is the correct choice.}}$ "

Answer 2

Una superficie $S$ como tal es un "conjunto bidimensional de puntos suaves" incrustado en el espacio tridimensional. En cada punto $p\in S$ tenemos un plano tangente $T_p(\sim{\mathbb R}^2)$ con origen en $p$ y este plano tangente tiene un complemento ortogonal bien definido $N:=T_p^\perp$ una línea a través de $p$ con origen en $p$ . En esta línea se pueden medir longitudes, pero a-priori lo hace no tener un sentido positivo, por no decir: correcto, de la dirección.

Para ciertos propósitos, en particular cuando se trata del cálculo de flujos, uno quisiera señalar uno de los dos sentidos posibles como positivo y esto de una manera que depende continuamente de $p$ . Esto puede hacerse de varias maneras, ya sea con palabras como "hacia afuera", "hacia adentro", "hacia arriba", "a la derecha", refiriéndose a la $(x,y,z)$ -sistema de coordenadas, o diciendo que para una determinada parametrización $(u,v)\mapsto{\bf r}(u,v)$ la orientación inducida por ${\bf r}_u\times{\bf r}_v$ (¡en este orden!) es positivo. Una directiva tan explícita tiene que ser dada por la persona que te entrega la superficie y te dice que hagas algo con ella; no sale de la nada.

Cuando se le da una descripción geométrica de $S$ (por ejemplo, "el trozo de una superficie elipsoidal con ejes $\ldots$ limitado por $\ldots$ "), junto con la orientación prevista, y se busca una representación paramétrica de $S$ en un catálogo, entonces tiene que verificar mediante visualización geométrica (incluso en una situación de examen) si ${\bf r}_u\times{\bf r}_v$ induce la orientación prevista o no.

Answer 3

Bueno, hay una respuesta definitiva para cada ejemplo, pero como menciona Ted, depende de la situación en general. Todos estos problemas probablemente caen bajo la afirmación general de que el vector normal positivo es el que apunta hacia el exterior de la superficie (una elección habitual). Creo que la mejor manera de determinar la dirección es imaginar un pequeño triplete de ejes que definen el sistema de coordenadas en la superficie.

Por ejemplo, la esfera, dibuja un vector de posición arbitrario desde el origen hasta la superficie de la esfera. En el extremo del vector de posición dibuja los dos vectores tangentes $\partial_{\Large{\phi}} \mathbf{r}$ y $\partial_{\Large{\theta}} \mathbf{r}$ son tangentes a la superficie y apuntan en la dirección de la tasa de cambio de r con respecto a las dos coordenadas angulares.

Digamos que nuestro vector de posición se encuentra en el primer octante. ¿En qué dirección $\partial_{\Large{\phi}} \mathbf{r}$ ¿punto en? Bueno $\phi$ se define como el ángulo que parte de z positivo y se extiende hasta z negativo, así $\partial_{\Large{\phi}} \mathbf{r}$ (el vector tangente phi) siempre apuntará a bajar por el exterior de la esfera. $\color{red} { \text { Would you please explain the previous sentence with your picture? } }$ El vector tangente a theta apunta en la dirección de aumento de theta, es decir, alrededor de la esfera desde el eje x positivo hasta el eje x en dirección CCW visto desde arriba. $\color{red} { \text { Would you please explain the previous sentence with your picture? } }$ Así, podemos visualizar el aspecto de los dos vectores y sólo tenemos que utilizar la regla de la mano derecha de los productos cruzados para determinar el orden del producto cruzado con el fin de obtener la normal positiva hacia el exterior, en este caso $\partial_{\phi} r \times \partial_{\theta} r$

http://tinypic.com/r/33xd0lu/8

Esta imagen explica ambas cosas $r_{\theta} \text{ and } r_{\phi}$ estos vectores se definen en el sentido de la definición original de coordenadas esféricas, es decir, la definición de $r_{\theta}$ es el vector en el que se mantienen constantes todas las variables excepto theta y se varía el vector en la dirección theta. Por ello, el $\phi$ derivada de r apunta hacia abajo, y la $\theta$ derivada de r puntos alrededor del exterior del círculo.

Podemos formar reglas similares para cada ejemplo adicional, dibujar un vector de posición arbitrario r(u,v), luego dibujar de la mejor manera posible los dos vectores tangentes, y usando la regla de la mano derecha hacer coincidir el orden de los vectores de manera de suministrar la normal dirigida hacia afuera.

Answer 4

Respuesta uno: Si eliges la opción incorrecta, obtienes menos la respuesta correcta. Si eliges la opción correcta, obtienes la respuesta correcta. Es trivial corregir a posteriori y computacionalmente intratable para corregir a priori . Como ejemplo: cuál es la opción correcta en la superficie de la botella de Klein. (Esto es una trampa, ya que esta superficie está compuesta por dos tiras de Moebius. Las franjas de Moebius no son orientables -- no hay una elección consistente de la normal de la superficie).

Respuesta dos: Una técnica, que es totalmente computacional y además inviable durante un examen, es esta: Extender la normal de la superficie desde el punto en la superficie hasta el punto en el infinito. Calcula el número de veces que este rayo interseca posteriormente la superficie (en otros lugares). Si ese número es par, entonces la normal apunta hacia afuera; si impar, hacia adentro. (Advertencia: Si el rayo es tangente a la superficie en algún punto, perturbe el ángulo infinitesimalmente para que deje de ser tangente).

Obsérvese que esta técnica informa de que ambas opciones de normal de superficie en cada punto de una franja de Moebius apuntan hacia el exterior (excepto un pequeño segmento cerca de la torsión en el que el rayo pasa por el "arco opuesto" de la franja de Moebius, segmento que aparentemente apunta hacia el interior mientras sigue unido suavemente a los puntos que apuntan hacia el exterior bajo una continuación suave de la elección de la normal).

Respuesta tres: Hay que desarrollar la intuición para los objetos con los que se trabaja. Si trabaja con superficies en $\mathbb{R}^3$ En este sentido, hay que entender estas superficies más a fondo que como un mero montón de símbolos sobre el papel.