Esto es esencialmente una expansión de Brett Frankel del comentario. Estoy acostumbrado a trabajar con la izquierda acciones, así que voy a publicar una respuesta en ese "idioma". Si usted trabaja con acciones correctas en su lugar, usted tiene que invertir todo lo que digo en el resto (voy a explicar las posibilidades después de que el cálculo).
Por lo que estamos buscando todos a la izquierda del módulo de homomorphisms $\varphi:R\to R$. Me dicen que son todos dados por las multiplicaciones de la derecha con un elemento determinado $x$, llamar a este mapa de $\rho_x$. En primer lugar, tenemos que comprobar que estos son de hecho la izquierda del módulo de homomorphisms:
$$\rho_x(rm)=(rm)x=r(mx)=r\rho_x(m)$$
por la asociatividad en $R$ y además
$$\rho_x(m+n)=(m+n)x=mx+nx=\rho_x(m)+\rho_x(n)$$
por distributividad en $R$, lo $\rho_x$ es un módulo de la izquierda homomorphism.
Ahora tenemos que comprobar que dos elementos de la $x$ $y$ diferentes $\rho_x$$\rho_y$. Así que asumir que ellos dan el mismo mapa. Entonces
$$x=1x=\rho_x(1)=\rho_y(1)=1y=y.$$
En tercer lugar, tenemos que comprobar que cada una de las $\varphi$ es de hecho una $\rho_x$ algunos $x$. Para que este defina $x:=\varphi(1)$. Entonces tenemos:
$$\varphi(r)=\varphi(r\cdot 1)=r\varphi(1)=rx=\rho_x(r)$$
Por lo tanto $\varphi=\rho_x$.
Lo que hemos probado hasta ahora es que el $\operatorname{End}(R)\cong R^{op}$ como conjuntos, donde $R^{op}$ es el opuesto del anillo de $R$ dada por el mismo subyacente abelian grupo con nueva multiplicación $r*s:=sr$. De hecho, este es un isomorfismo de anillos (si se utiliza a la izquierda de la notación como yo) que vamos a comprobar ahora:
$$\rho_x\rho_y(r)=\rho_x(ry)=ryx=\rho_{yx}(r)=\rho_{x*y}(r)$$
Esto tenemos que el mapa $R^{op}\to \operatorname{End}(R)$, $x\mapsto \rho_x$ es compatible con la multiplicación. Lo voy a dejar para que el lector compruebe la simple comprobación de que también es compatible con la adición.
Un comentario sobre cómo se puede revertir las cosas: Si utiliza la izquierda de la notación de los mapas y la acción correcta de los módulos, a continuación, usted tendría $\operatorname{End}(R)\cong R$. (sin ningún tipo de op). Del mismo modo, si usted derecho de uso de la notación y la izquierda acciones. Si usted derecho de uso de la notación y el derecho de acción que tendrían $\operatorname{End}(R)\cong R^{op}$ nuevo.
