Que el método "only-forth" se aplique recorriendo la enumeración de $A$ y el emparejamiento de cada $a_i$ con el $b_j$ que tiene el menor índice $j$ de todos los elementos de $B$ compatible con el conjunto actual de restricciones. Esto está bien definido ya que, como explica el artículo de Wikipedia, siempre hay al menos un elemento de este tipo de $B$ y todo conjunto no vacío de índices tiene un elemento mínimo.
En el $n$ -a etapa de la construcción, después de $n$ han sido elegidos, los valores no emparejados en $A$ se dividen en $n+1$ conjuntos (contablemente infinitos) $A_{nm}$ ( $n-1$ entre los valores emparejados y $2$ en cada extremo), y $B$ también se divide en $n+1$ conjuntos (contablemente infinitos) $B_{nm}$ . Si un elemento de $A_{nm}$ se va a emparejar a continuación, la pareja puede ser elegida arbitrariamente del conjunto correspondiente $B_{nm}$ .
Un elemento determinado $b_k$ de $B$ está siempre en uno de estos conjuntos $B_{nm}$ hasta que se empareje. Como siempre hay un conjunto correspondiente $A_{nm}$ de elementos aún no apareados de $A$ y todos los elementos de $A$ finalmente se emparejan, un elemento $b_k$ que nunca se empareja experimentaría infinitas elecciones de su respectiva corriente $B_{nm}$ . Pero esto es imposible, ya que en cada caso el elemento de $B_{nm}$ con el menor índice se elige, y sólo hay un número finito de índices menores que $k$ .
