Por wikipedia, supongamos $A, B$ son de izquierda $R$-módulos, una forma para calcular el $Ext_{R}^{1}(A, B)$ es considerar como equivalente de la clase de módulo de extensión de $A$$B$, en el sentido de que el diagrama de
$$\requieren{AMScd}\begin{CD} 0 @>>> B @>>> E @>>> A @>>> 0 \\ @. @| @VfVV @| \\ 0 @>>> B @>>> E' @>>> A @>>> 0 \end{CD}$$
es conmutativa. Además, el elemento de identidad en $Ext_{R}^{1}(A, B)$ es considerado como la división de extensión de la $E=A\oplus B.$
Ahora, consideremos $Ext_{\mathbb Z}^{1}(S^1, \mathbb Z)$. Para ser más específicos, deje $S^1=\{e^{2\pi i\theta}|0\le \theta\lt1\}$, que forma un grupo bajo el complejo de la multiplicación $e^{2\pi ia}\cdot e^{2\pi ib}=e^{2\pi i(a+b)}$. Ahora, considere el mapa de proyección $$\phi: \mathbb R\to S^1$$ $$x\to e^{2\pi i[x]}.$$
con $\ker \phi=\mathbb Z$. Y esto da una breve secuencia exacta para abelian grupos, y también para $\mathbb Z$-módulos:
$$0\to \mathbb Z\to \mathbb R\xrightarrow{\phi}S^1\to 0.$$
Desde cualquier número racional $a$, lo que ha finito de orden en $S^1$, por lo que si $\sigma: S^1\to \mathbb R$,$\sigma(a)=0$, esto implica que no hay homomorphism $\sigma: S^1\to \mathbb R$, de tal manera que $\phi\circ \sigma=id_{S^1}.$por lo Tanto por encima de la extensión no está dividida. Por lo tanto hemos demostrado que $Ext_{\mathbb Z}^{1}(S^1, \mathbb Z)$ no es trivial. Pero, ¿cómo puedo calcular el conjunto de la $Ext_{\mathbb Z}^{1}(S^1, \mathbb Z)$?
