¿Alegaciones en palabras fáciles?

Question

1) ¿Cuál es, en palabras fáciles, la definición de una alegoría?

2) ¿Y cuándo son útiles las alegorías?

¿Qué tiene que ver con la teoría de categorías y las categorías?

Con la definición de categoría, es fácil tener una idea de lo que es una categoría, pero con las alegorías estoy totalmente perdido.

Answer 1

Una alegoría es un tipo especial de categoría que tiene propiedades como la categoría $\textbf{Rel}$ de conjuntos y relaciones. Más concretamente,

Definición. Un alegoría es una categoría $\mathcal{A}$ dotado de una estructura poset en cada conjunto hom $\mathcal{A} (X, Y)$ y un functor de identidad sobre objetos $(-)^{\circ} : \mathcal{A}^{\textrm{op}} \to \mathcal{A}$ tal que

• composición $\mathcal{A} (Y, Z) \times \mathcal{A} (X, Y) \to \mathcal{A} (X, Z)$ es monótona,

• el mapa $(-)^{\circ} : \mathcal{A} (X, Y) \to \mathcal{A} (Y, X)$ es monótona,

• el hom-poset $\mathcal{A}(X, Y)$ tiene encuentros binarios, y

• para todos $\psi : X \to Y$ , $\psi : Y \to Z$ y $\chi : X \to Z$ en $\mathcal{A}$ tenemos la siguiente desigualdad: $$(\psi \circ \phi) \cap \chi \le (\psi \cap (\chi \circ \phi^{\circ})) \circ \phi$$

Ejemplo. La categoría $\textbf{Rel}$ es una alegoría, donde $\phi \le \phi'$ significa $\phi \subseteq \phi'$ (como subconjuntos de $X \times Y$ ) y $\phi^{\circ}$ es la relación $Y \to X$ tal que $\phi^{\circ} (y, x)$ si y sólo si $\phi (x, y)$ . Está claro que el poset $\textbf{Rel} (X, Y) = \mathscr{P} (X \times Y)$ tiene encuentros binarios (= intersecciones) y por lo tanto sólo tenemos que verificar la desigualdad mostrada. Pero, si hay $x, y, z$ tal que $\chi (x, z)$ , $\phi (x, y)$ y $\psi (y, z)$ entonces ciertamente $\phi (x, y)$ , $\phi^{\circ} (y, x)$ , $\chi (x, z)$ y $\psi (y, z)$ por lo que la desigualdad es efectivamente cierta.

De hecho, el mismo tipo de razonamiento muestra que para cualquier teoría de primer orden $\mathbb{T}$ podemos construir una alegoría cuyos objetos son predicados sobre $\mathbb{T}$ (escrito como $\{ (x_1, \ldots, x_n) : \alpha \}$ , donde $x_1, \ldots, x_n$ son las variables libres de una fórmula $\alpha$ ) módulo de equivalencia bajo renombramiento (pero no permutación) de variables, y cuyas flechas $\phi : \{ (x_1, \ldots, x_n) : \alpha \} \to \{ (y_1, \ldots, y_m) : \beta \}$ son esas fórmulas $\phi$ con variables libres $x_1, \ldots, x_n, y_1, \ldots, y_m$ tal que $\mathbb{T}, \phi \vdash \alpha$ y $\mathbb{T}, \phi \vdash \beta$ , módulo de equivalencia demostrable bajo $\mathbb{T}$ . La composición es, por supuesto, la composición de relaciones: así que dado $\phi : \{ (x_1, \ldots, x_n) : \alpha \} \to \{ (y_1, \ldots, y_m) : \beta \}$ y $\psi : \{ (y_1, \ldots, y_m) : \beta \} \to \{ (z_1, \ldots, z_l) : \gamma \}$ , $\psi \circ \phi$ es el predicado correspondiente a $\exists y_1 . \ldots . \exists y_m . \phi \land \psi$ . Esto se denomina alegoría sintáctica de $\mathbb{T}$ .