¿Por qué todas las constantes interesantes tan pequeño?

Question

Un rápido vistazo a la entrada de la wikipedia en constantes matemáticas sugiere que el más importante de constantes fundamentales de la naturaleza todos viven en la vecindad inmediata de los primeros enteros positivos. ¿Hay algún tipo de normalización, o alguna otra explicación razonable de por qué solo hemos identificado interesante pequeños constantes?

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EDIT:se me puede haber sido demasiado fuerte en algunos de mi idioma, o no es clara en mis ejemplos. El más "importante" o "muy interesante" constantes son ciertamente discutible. Por otra parte, hay muchos de los más importantes e interesantes de números muy grandes. Para ello, me gustaría hacer dos revisiones.

En primer lugar, para dar una idea más clara de los números que tenía en mente, por favor, considere la posibilidad de tales ejemplos como $\pi$, $e$, la proporción áurea, la de Euler–Mascheroni constante, la Feigenbaum constantes, el gemelo primer constantes, etc. Obviamente los números como $0$, $1$, $\sqrt2$, $...$, mientras que en la lista de wikipedia, en cierto sentido, demasiado "fundamental" para su consideración.

Esto me lleva a mi segunda revisión, que es que las constantes que estoy tratando de describir son (o parecen ser) irracional. Tal vez esta es una pista de lo que los hace interesantes. Al menos, esto me lleva a creer que gran número entero contraejemplos no satisface a la pregunta como yo había pensado.

Por último, si pudiera elegir una palabra mejor para describir tales números, podría ser "auspicioso" más que interesantes o importantes. Pero realmente no sé si eso es mejor o peor.

Answer 1

¿Qué acerca de la reversibles de 100 dígitos prime (es decir, que una de las principales si es por escrito al revés)

$31399719737866347113914486515772694858917594191229$ $38744591877656925789747974914319422889611373939731$

que se divide en 10 reversible de 10 dígitos de los números primos en orden

$$3139971973, 7866347113, 9144865157, 7269485891, 7594191229, 3874459187, 7656925789, 7479749143, 1942288961, 1373939731$$

que se pueden montar en esta "magia" de la plaza

$$3~~~ 1~~~ 3~~~ 9 ~~~9 ~~~7 ~~~1~~~ 9~~~ 7~~~ 3$$ $$7~~~ 8~~~ 6 ~~~6~~~ 3~~~ 4~~~ 7~~~ 1~~~ 1~~~ 3$$ $$9~~~ 1~~~ 4~~~ 4~~~ 8~~~ 6~~~ 5~~~ 1~~~ 5 ~~~7$$ $$7~~~ 2~~~ 6~~~ 9~~~ 4~~~ 8~~~ 5~~~ 8~~~ 9~~~ 1$$ $$7~~~ 5~~~ 9~~~ 4~~~ 1~~~ 9~~~ 1~~~ 2 ~~~2 ~~~9$$ $$3~~~ 8~~~ 7~~~ 4~~~ 4~~~ 5~~~ 9~~~ 1~~~ 8~~~ 7$$ $$7~~~ 6~~~ 5~~~ 6~~~ 9~~~ 2~~~ 5~~~ 7~~~ 8~~~ 9$$ $$7~~~ 4 ~~~7~~~ 9~~~ 7~~~ 4~~~ 9~~~ 1~~~ 4~~~ 3$$ $$1~~~ 9~~~ 4~~~ 2~~~ 2~~~ 8 ~~~8~~~ 9~~~ 6~~~ 1$$ $$1~~~ 3~~~ 7 ~~~3~~~ 9~~~ 3~~~ 9~~~ 7~~~ 3~~~ 1$$

Donde cada fila de columnas y diagonales es reversible prime.

Si eso no es interesante para usted, no sé qué es.

Answer 2

Sin cera demasiado metafísico, creo que además de algunas "verdades fundamentales de la naturaleza" tipo de respuestas, probablemente hay algunos antropomorfos de las razones que explica parcialmente esta observación. Pasamos la mayor parte de nuestras horas de vigilia tratando con números menos que, digamos, un par de miles, por lo que no es de extrañar que la mayoría de nuestros más sorprendentes observaciones preocupación de los números en este rango. Parece probable que, como las matemáticas y los progresos de la tecnología, vamos a encontrarnos a nosotros mismos, descubriendo sorprendentes propiedades de la cada vez más numerosa. De hecho, uno de los más asombrosos números nunca,

$$808017424794512875886459904961710757005754368000000000,$$

tuvo que esperar hasta la década de 1970 antes de que su importancia fue incluso conjecturally entendido. (Editar para agregar que este número está a la orden del monstruo grupo, las matemáticas detrás de la cual no podría ser adecuadamente tratado en esta respuesta. Pero la wikipedia es un buen comienzo).

También editado para añadir una respuesta a GregL que se estaba volviendo demasiado tiempo para comentarios. Entiendo tu punto de vista pero en última instancia, todavía no está de acuerdo. Es difícil hacer este preciso (y mucho para no depilación metafísica), pero dicen que vivimos en un universo donde la proporción de la circunferencia de un círculo a su diámetro fue del orden de los mil millones, en lugar del actual universo de la relación de $\pi$. Entonces es posible que no tienen siquiera notado que esta relación fue constante a través de todos los círculos, por lo que en un sentido es sólo por $\pi$ es pequeña, que nos llevó a observar y, por tanto, calcular. (Bueno, $\pi$'s no es el mejor ejemplo de esto, pero veo que el punto). Así que, en respuesta a una reivindicación de "Los números importantes acabo de llegar a ser pequeña cuando se calculan," mi respuesta anterior es más o menos el argumento de que es en cambio el caso de que un pequeño número de auto-seleccione incluso a ser calculado en el primer lugar! Creo que el monstruo de la orden de grupo encaja a la perfección en esta narrativa, es un número que representa una cantidad tremenda de la verdad fundamental, pero era imposible saber su significado antes de que el desarrollo de las matemáticas y darse cuenta de los patrones que ha obligado a revelar a sí mismo.

Answer 3

Fundamentalmente, creo que la razón es que los dos elementos que se utilizan para definir los números enteros, que se $0$ (el aditivo de la unidad) y $1$ (la multiplicación de la unidad), son a distancia $1$ el uno del otro. Los enteros forman un anillo, cuyo grupo de estructura bajo la suma y la monoid estructura bajo la multiplicación son a priori muy sencillo. Así que el único lugar en el que el número fundamentales de la teoría de las constantes pueden surgir de la interacción de la adición y la multiplicación, que juega $0$ $1$ de descuento, el uno contra el otro, lo que significa que cualquier interesantes constante es probable que esté en las proximidades de el cero y el uno. En pseudo-matemático tonterías términos, tengo una imagen mental de una distribución de Gauss de "las probabilidades de fundamental número teórico-constantes derivadas", con una media de en algún lugar entre el$0$$1$, y con una desviación estándar de alrededor de $1$.

La excepción que confirma la regla, creo, es el círculo constante $\tau=2\pi$. Yo soy de la escuela de pensamiento que $\tau$; o el número complejo a $i\tau$, son más fundamentales que los $\pi$;. La constante $\tau$, el cociente de la circunferencia por el radio del círculo unitario, vive en la vecindad de $6$, que es un poco lejos (pero no demasiado) de$0$$1$. Por lo $\tau$ es un valor atípico.

Answer 4

Bueno, un par de observaciones que pueden o no ser relevantes.

Mirando los números en el artículo de la wikipedia, un par de cosas de pop.

Muchos de ellos son familiares directos de $ e $$ \pi $$ \sqrt{2}$, por lo que si aceptamos estas como está en el intervalo en cuestión debido a la pura casualidad, entonces, que explica varios de los otros, o al menos se mueve a la pregunta de hacia qué estas constantes son tan fundamentales.

Varias constantes preocupación de la diferencia o la relación de, por ejemplo, dos series aproxima a infinito. Posiblemente, estas relaciones son muy interesante, sobre todo cuando la serie en cuestión son algo cerca el uno del otro - si son muy diferentes, entonces cualquier cosa real está siendo examinada es probable que la más obvia para observar y tal vez no está considerada digna de una constante.

Sin embargo, otras constantes están relacionados con los límites de potencia de la serie. Estas centrales de la serie, a su vez, tienden a tener un "pequeño" coeficientes - tal vez porque nos encontramos con las funciones más "natural". Una relacionada con el argumento sería que las funciones y propiedades de examinamos se comportan bastante bien con respecto al orden de magnitud, podemos razonablemente gráfico la mayoría de ellos en $[0,1]\times[0,1]$ o similar intervalos. Este hecho podría convertirse en el lugar pregunta similar: ¿por Qué es así? Claramente, "la mayoría" de las funciones de $ \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tendrá muy diferentes de los valores en este rango, incluso cuando nos limitamos a definibles, continua, diferenciable o somesuch funciones.

Y, sin embargo, otro aspecto es que, a menudo, podemos realmente elegir el examinado la propiedad de estar en ese rango porque nuestro objetivo es mostrar que algo es "cerrar". Por ejemplo, mira la de Euler–Mascheroni constante se define como el límite de la diferencia entre los dos "cerrar" de propiedades.

Por último, también podría ser que tales propiedades son más difíciles de encontrar - por ejemplo, si el límite de una relación entre dos series suficientemente definido de manera diferente para no ser trivial para relacionar existe, pero es un número gigantesco, cualquiera examinar y comparar los primeros términos no podía llegar a la idea de que existe una relación de este tipo.

Answer 5

En física la situación es lo contrario. Hasta la fecha ninguna teoría puede proporcionar medios para calcular exactamente las constantes sin dimensiones que se presentan en la naturaleza, pero para explicar por qué son en la gama se encuentran pueden hacerse aplicando el principio antrópico.

$10^{42}\approx$ fuerza electromagnética / gravitatoria de un electrón