Cómo mostrar esta desigualdad $\sum\sqrt{\frac{x}{x+2y+z}}\le 2$

Question

Que $x,y,z,w>0$ mostrar que $$\sqrt{\dfrac{x}{x+2y+z}}+\sqrt{\dfrac{y}{y+2z+w}}+\sqrt{\dfrac{z}{z+2w+x}}+\sqrt{\dfrac{w}{w+2x+y}}\le 2$ $

He probado C-S, pero sin éxito.

Answer 1

Mi prueba fue de total mal. Lo siento.

Creo que el siguiente razonamiento ayuda.

Vamos $\frac{x}{x+2y+z}=\frac{a^2}{4}$, $\frac{y}{y+2z+w}=\frac{b^2}{4}$, $\frac{z}{z+2w+x}=\frac{c^2}{4}$ y $\frac{w}{w+2x+y}=\frac{d^2}{4}$, donde $a$, $b$, $c$ y $d$ son positivos.

Por lo tanto, tenemos que el sistema de

$$ \left\{\begin{matrix} (a^2-4)x+2a^2y+a^2z+0w=0\\ 0x+(b^2-4)y+2b^2z+b^2w=0\\ c^2x+0y+(c^2-4)z+2c^2w=0\\ 2d^2x+d^2y+0z+(d^2-4)w=0 \end{de la matriz}\right. $$ tiene una infinidad de soluciones, lo que da $$ \det\left(\begin{matrix} a^2-4&2a^2&a^2&0\\ 0&b^2-4&2b^2&b^2\\ c^2&0&c^2-4&2c^2\\ 2d^2&d^2&0&d^2-4 \end{de la matriz}\right)=0 $$ o $$a^2b^2+b^2c^2+c^2d^2+d^2a^2+16=4(a^2+b^2+c^2+d^2)+a^2b^2c^2+a^2b^2d^2+a^2c^2d^2+b^2c^2d^2$$ y tenemos que demostrar que $$a+b+c+d\leq4.$$ Deje $a+b+c+d>4$ $d=kd'$ donde$k>0$$a+b+c+d'=4$.

Por lo tanto, $k>1$ y $$a^2b^2+b^2c^2+k^2c^2d'^2+k^2d'^2a^2+16=$$ $$=4(a^2+b^2+c^2+k^2d'^2)+a^2b^2c^2+k^2a^2b^2d'^2+k^2a^2c^2d'^2+k^2b^2c^2d'^2$$ o $$a^2b^2+b^2c^2+16-4(a^2+b^2+c^2)-a^2b^2c^2=$$ $$=k^2d'^2(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2-a^2-c^2+4)$$ y desde $$4-a^2-c^2=4-\frac{4x}{x+2y+z}-\frac{4z}{z+2w+x}>4\left(1-\frac{x}{x+z}-\frac{z}{z+x}\right)=0,$$ obtenemos $$a^2b^2+b^2c^2+16-4(a^2+b^2+c^2)-a^2b^2c^2=$$ $$=k^2d'^2(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2-a^2-c^2+4)>$$ $$>d'^2(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2-a^2-c^2+4),$$ que es contradicción, porque vamos a demostrar ahora que $$a^2b^2+b^2c^2+16-4(a^2+b^2+c^2)-a^2b^2c^2\leq$$

$$\leq d'^2(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2-a^2-c^2+4).$$ Vamos a colocar de nuevo $d'$ $d$ y tenemos que demostrar que $$a^2b^2+b^2c^2+c^2d^2+d^2a^2+16\leq4(a^2+b^2+c^2+d^2)+a^2b^2c^2+a^2b^2d^2+a^2c^2d^2+b^2c^2d^2$$ o $$a^2b^2+b^2c^2+c^2d^2+d^2a^2+a^2c^2+b^2d^2+16\leq$$ $$\leq4(a^2+b^2+c^2+d^2)+a^2b^2c^2+a^2b^2d^2+a^2c^2d^2+b^2c^2d^2+a^2c^2+b^2d^2.$$ Por AM-GM $a^2c^2+b^2d^2\geq2abcd$.

Id est, queda por demostrar la siguiente desigualdad.

Vamos $a$, $b$, $c$ y $d$ ser números positivos tales que $a+b+c+d=4$. Probar que: $$a^2b^2+b^2c^2+c^2d^2+d^2a^2+a^2c^2+b^2d^2+16\leq$$ $$\leq4(a^2+b^2+c^2+d^2)+a^2b^2c^2+a^2b^2d^2+a^2c^2d^2+b^2c^2d^2+2abcd,$$ lo cual es cierto, pero mi prueba de esta buena la desigualdad es todavía muy feo.

Answer 2

Por C-S:

$(LHS)^2\le \sum_{cyc}a(b+2c+d) \sum_{cyc}\frac{1}{(a+2b+c)(b+2c+d)}$

$\sum_{cyc}a(b+2c+d) \sum_{cyc}\frac{1}{(a+2b+c)(b+2c+d)}\le 4 \ \ \iff \ \ (a-c)^2(b-d)^2\ge 0$