¿Qué tipo de funciones no pueden ser descritas por la serie de Taylor? ¿Por qué?

Question

Es cierto que no estoy familiarizado con demasiadas funciones exóticas, pero no entiendo por qué existen funciones que no pueden ser descritas por una serie de Taylor ¿Qué es lo que hace que se pueda describir alguna función en particular con una serie de este tipo? ¿Hay alguna diferencia para diferentes conjuntos de números? ¿En el caso de los números complejos quizás? ¿Podría alguien dar un ejemplo?

Answer 1

Tenemos la algo famosa función:

$$f(x)=\begin{cases}e^{-1/x^2}&x\neq 0\\ 0&x=0 \end{cases}$$

es infinitamente diferenciable en $0$ con $f^{(n)}(0)=0$ para todos $n$ por lo que, aunque la función sea infinitamente diferenciable, la serie de Taylor en torno a $0$ no converge al valor de la función para cualquier $x>0$ .

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Técnicamente, cualquier función que sea infinitamente diferenciable en $a$ tiene una serie de Taylor en $a$ . La utilidad de esa serie de Taylor depende de lo que quieras que haga la serie.

Por ejemplo, si se da un $g$ infinitamente diferenciable en $0$ , el sabemos que existe $C,\epsilon>0$ tal que:

$$\left|g(x)-\sum_{k=0}^{n} \frac{g^{(k)}(0)}{k!}x^k\right|<Cx^{n+1}$$

para todos $|x|<\epsilon$ .

Así que los términos finitos de la serie de Taylor son siempre, en cierto sentido, el "mejor" polinomio para coincidir con la función.

Entonces, ¿qué pasa con nuestra función $f$ arriba es que $f(x)$ converge a $0$ más rápido que cualquier función $x^n$ .

Lo que no siempre obtenemos, para funciones reales, es una serie de Taylor que converja a la función en el intervalo.

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En los números complejos, las cosas se vuelven intrigantes. Resulta que, si se define la diferenciación en funciones complejas de una manera relativamente sencilla, cualquier función que sea diferenciable en un punto es infinitamente diferenciable en ese punto, y la serie de Taylor converge en alguna "bola" centrada en ese punto.

Answer 2

Si el límite del término de error de Lagrange no tiende a cero (como $n \to \infty $ ), entonces la función no será igual a su serie de Taylor.

También puede leer más sobre esto en el Apéndice $1$ en Introducción al cálculo y al análisis $1$ por Courant y John . Espero que sea de ayuda.

Answer 3

Creo que la intuición que quieres es el hecho de que las funciones que son no complejo-diferenciable* (también conocido como holomorfo ) no están descritas por una serie de Taylor.

Y por poner otro ejemplo quizá más inesperado que el dado por Andrew:

$$f(z) = \begin{cases} e^{-\frac{1}{z}} && \text{if } z > 0 \\ 0 && \text{otherwise}\end{cases}$$

Esta función es suave y cero en un intervalo infinitamente largo, y sin embargo no es cero, porque no es holomorfa.

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*Si no estás familiarizado con la diferenciación compleja, es como la diferenciación real, con $h$ complejo:

$$f'(z) = \lim_{h \to 0} \frac{f(z + h) - f(z)}{h}$$

Para más detalles, consulte aquí .

Answer 4

Además de todos los comentarios aquí, me gustaría añadir la curiosa función de Weierstrass, que es conocida por su cualidad de no ser diferenciable en ninguna parte a pesar de ser continua en todas partes:

$$ W(x) = \sum_{n=0}^\infty a^n\cos(b^n\pi x)$$

En consecuencia, no tiene una serie de Taylor.

Puede encontrar una visualización de $W$ aquí .

Answer 5

La existencia de funciones que no se pueden describir mediante series de Taylor es, en realidad, completamente intuitiva; tomemos la función indicadora de los números racionales vista como un subconjunto de los reales, por ejemplo. Intenta tener en cuenta que las funciones pueden ser realmente... arbitrarias.

Mucho más sutil es la existencia de funciones suaves que no son analíticas; Thomas Andrews da el ejemplo estándar de tal bestia. Por cierto, yo entiendo que esto es posible porque, de acuerdo, hay funciones que cambian de comportamiento repentinamente en un punto, PERO el cambio de comportamiento en ese punto es tan gradual, tan suave, tan suave que ninguna de las derivadas de la función puede ver cómo se produce el cambio; por lo tanto, la serie de Taylor tampoco puede.