Problemas con la hipótesis del continuo

Question

Axioma de elección se trata muy a menudo, porque debe ser un montón de paradojas (de Banach-Tarski paradoja, por ejemplo) y, en general, es considerado por muchos no evidente (por innumerables caso, por supuesto). Pero continuo hipótesis queda a un lado, no parece tan extraño. ¿Cuántas personas — por lo que muchas opiniones. Pero muchos teoremas sólo de cálculo uso de la red; parece que es más fácil de aceptar que rechazar de CA.

¿Y qué acerca de CH? Había una pregunta en la SE, pero me gustaría saber lo que la (muy interesante) teoremas mediante el CH; yo no sé nada del teorema de tales. Matemáticas con AC y matemáticas sin AC me parece muy diferentes; pero las matemáticas con y sin CH... a Quién le importa?)

Answer 1

Kaplansky de la Conjetura para Álgebras de Banach es un ejemplo de una declaración interesante con la que no obvia el conjunto teórico de contenido cuya verdad depende de CH.

La conjetura es que por cada algebraicas homomorphism de C(X) (donde X es un Compacto de Haussdorff espacio) a un Álgebra de Banach es continua.

En virtud de CH, la conjetura es falsa para cualquier variedad infinita de X. Sin CH, la conjetura puede ser cierto.

En general hay un personaje de CH que hace patológico innumerables cosas más fácilmente "construible", porque siempre se puede construir fuera de contables de piezas a través de un proceso de inducción transfinita. Ya no recuerdo (por si alguna vez me sabía) cómo la construcción de la discontinuo homorphism funciona, pero me gustaría esperar es algo que a lo largo de estas líneas.

Answer 2

Publicado esto anteriormente, pero am no se puede encontrar:

Hay un teorema de Erdös, que puede ser relevante para usted:

Los siguientes son equivalentes

• $CH$
• Hay un innumerables % familia $\mathcal F$de funciones enteras, tales que para todos los $z \in \mathbb C$ el conjunto de $\{ f(z) \mid f \in \mathcal F \} $ contable.