Encontrar una fórmula explícita de una fórmula recursiva.

Question

Tengo la relación de recurrencia:

$$g(k, 0, x) = k,$$

$$g(k, n, x) = \dfrac{1}{2} \log_{k}{\left(\dfrac{k^{g(k, n - 1, x)}x}{g(k, n - 1, x)}\right)},$$

y me gustaría resolverlo, si es posible.

Por cierto, $\lim_{n \to \infty}{g(k, n, x)} = f^{-1}(k, x), f(k, x) = k^{x}x$.

Answer 1

Entiendo simplificar la $n$-ésimo término no resolver la relación de recurrencia.

Observando $u_n=g(k,n,x)$ uno tiene $$2u_n = \log_{k}{\left(\dfrac{k^{g(k, n - 1, x)}x}{g(k, n - 1, x)}\right)}$$ es decir,$$2u_n=\log_{k}\frac {k^{u_{n-1}}x}{u_{n-1}}\iff k^{2u_n}=\frac {k^{u_{n-1}}x}{u_{n-1}}$$ Por lo tanto $$u_{n-1}k^{(2u_n-u_{n-1})}=x$$

►"La respuesta" (Bis):por Favor, permítame una nota acerca de esta pregunta puedo no completamente entendido antes. Una relación de recurrencia está bien definido cuando las condiciones iniciales están dadas. En este caso, parece $u_0=k$ a ser suficiente. De todos modos, uno tiene $$ 2u_n=\log_{k}\frac {k^{u_{n-1}}x}{u_{n-1}} ; u_0=k \Rightarrow x=k^{(u_1+1-k)}$$ So, the variable $x$ must be constant? The answer to this is, simply, here the recurrence relation is not of numbers but of functions, only the first term $u_0$ es constante. (No vi este y me estaba buscando números). Lo que sigue es mi "respuesta" que me pareció, sin embargo, le ruego que lea el siguiente COMENTARIO. Tenemos$$ u_{n-1}k^{(2u_n-u_{n-1})}=x \Rightarrow \frac {u_n}{u_{n-1}}=k^{(3u_n-u_{n-1}-2u_{n+1})} $$ Nota tanto telescópico (1) y (2):

(1) $$\frac {u_1}{u_0}\cdot\frac {u_2}{u_1}\cdot\frac {u_3}{u_2}\cdot.......\cdot\frac{u_n}{u_{n-1}}=\frac{u_n}{u_0}$$ (2)$$\sum_{k=0}^{k=n}(3u_k-u_{k-1}-2u_{k+1})=-2u_{n+1} +u_n+2u_1-u_0$$ de Ahí $$\frac {u_n}{u_0}=k^{(-2u_{n+1} +u_n+2u_1-u_0)}$$ Pero $$2u_1=\log_{k}\frac{k^{u_0}x}{u_0}\Rightarrow 2u_1-u_0=\log_{k}\frac {x}{u_n}$$ es decir, $$u_n=k^{(-2u_{n+1}+u_n+\log_{k}x)}$$ Thus $$\boxed{ 2u_{n+1}=u_n+\log_{k}\frac {x}{u_n}}$$ Permítanos calcular tres términos (el primero es el estado inicial). $$u_0=k$$ $$u_1=\frac {k+\log_{k}\frac {x}{k}}{2}$$ $$2u_2=\frac {k+\log_{k}\frac {x}{k}}{2}+\log_{k}\frac {2x}{k+\log_{k}\frac {x}{k}}$$ Las condiciones se vuelven más y más complicado a medida que n aumenta.

OBSERVACIÓN.- Ver esto y relacionados, por favor. Todo lo anterior puede ser reducido considerablemente a partir de la dada por @Taylor formulación y la "simplificación" dado antes. Si los términos de la recurrencia son considerados como lo que son, funciones y no números, a continuación, la "respuesta" es corto y fácil. En realidad esta "respuesta" (Bis) es exactamente la formulación dada por @Taylor!!! que es fácil de verificar.